Мы теперь с понятием о математике связываем понятие о вычислениях в самом общем и обширном значении этого слова. В древности ограничивались лишь производством численных вычислений, причем оно входило главным образом лишь в астрономию, в которой было доведено до значительного совершенства, несмотря на неудобства письменной нумерации древних греков.

С XVI в. в Европе зарождается пришедшее от арабов искусство буквенного исчисления и формальная алгебра, которая, постепенно совершенствуясь, к середине XVII в. достигает значительного развития.

4. Здесь приходится упомянуть великого философа и математика Декарта; с одной стороны, он своим афоризмом «Cogito ergo sum» (Мыслю – значит существую) как бы вновь наложил на математику тот отпечаток отвлеченности, который она не только сохранила и доныне, но который особенно усилился за последние 70 лет. С другой стороны, Декарт преобразовал геометрию введением в нее алгебры и ее вычислительных методов, которые были совершенно чужды древним.

В 1670-х годах Ньютон создает «исчисление флюент и флюксий», т. е. текущих количеств, как он его называет. Независимо от него в 1680-х годах это же исчисление находится и опубликовывается философом Лейбницем и называется им «исчисление бесконечно малых».

Ньютон вместе с тем в изданном им в 1686 г. сочинении «Математические начала натуральной философии» развивает и как бы вновь создает динамику, первые начала которой были положены 50 лет перед этим Галилеем,[73] и доводит эту науку до высокой степени развития чисто геометрическим путем, по образцу древних, и прилагает созданное им учение к установлению системы мира и познанию и приложениям закона тяготения, им открытого, к изучению движения небесных тел.

В течение XVIII в. анализ бесконечно малых доводится до высокой степени совершенства; на его основе развивается теоретическая механика, которая сперва, по примеру Ньютона, прилагается главным образом к изучению движения небесных тел и отчасти к баллистике.

С середины XVIII в. механика начинает прилагаться к решению вопросов технических не только из области статики, которая была создана Архимедом, но и динамики.

С XIX в технические приложения механики как в области статики, так и динамики все более и более проникают в технику и все более и более ее охватывают.

5. Но и математика не стоит на месте, она продолжает развиваться в разных направлениях, которые можно характеризовать так:

а) развитие вычислительных, в обширном смысле этого слова, процессов;

б) изучение свойств функций, возникающих при вычислениях, установление строгости и строгое обоснование самих вычислительных процессов;