Мурат родился 18 ноября 1924 года в селе Христиановском. В 1941 году закончил школу и поступил на литературный факультет Северо-Осетинского педагогического института. Одновременно 16-летний (!) Мурат руководил русской секцией Союза писателей Северной Осетии. Пробовал себя в драматургии. В 1941 году три стихотворения Мурата вышли в одном сборнике со стихами мэтров: С. Маршака, М. Исаковского, Н. Асеева, М. Алигер…

Характер и темперамент Мурата можно представить по одному из его писем. Вот что писал юноша руководителю местного издательства: «Я хочу сказать Вам по поводу моего стихотворения. Оно, как я вижу, некоторым не нравится. Но я решил его не переделывать на старый лад. Г. и К. склонны уважать фальшивый ура-патриотизм. Но в стихах это настолько избито и изъезжено, что надоело до невозможности. В данном стихотворении я славлю два слова „Жизнь“ и „Человек“, и здесь ни при чем патриотизм. О патриотизме я могу написать в другом стихотворении. А в этом я не буду подделываться под всяких Г. и К., даже если они его не напечатают».

Уже на второй день войны Мурат подал заявление об отправке на фронт. Стал артиллеристом, номерным расчета орудия батареи 45-мм пушек 162-го гвардейского стрелкового полка 55-й гвардейской стрелковой дивизии. В мае 1942 года награжден медалью «За отвагу». Участвовал в освобождении Северного Кавказа и Крыма.

Незадолго до своей гибели Мурат писал родителям: «Иду на штурм Крыма в числе штурмовой группы…»

5 ноября 1943 года гвардии старший сержант Мурат Елекоев был тяжело ранен в голову. 7 ноября, не приходя в сознание, скончался в госпитале.

Из представления к награждению орденом Отечественной войны II степени:

Тов. Еликоев в боях на Керченском полуострове действовал в составе орудийного расчета 45 мм пушек. По убытию из строя командира расчета тов. Еликоев принял его обязанности на себя. В бою 5.11.43 при отражении контратаки противника (танков и пехоты) тов. Еликоев подбил из своего орудия один танк, и в последующий разгар боя подавил три огневых точки противника, в том числе вывел из строя вражескую пушку вместе с прислугой. Будучи оглушен разрывами вражеских снарядов, тов. Еликоев не покидал своего орудия и на протяжении целого дня участвовал в отражении ожесточенных контратак противника. И только тяжелое ранение вывело из строя храброго воина…

Узнав о гибели сына, отец Георгий Саввич и мать Елена Ивановна стали собираться в дорогу – они решили забрать тело сына на родину. Для этого им надо было каким-то образом попасть в расположение 162-го стрелкового полка, в зону продолжавшихся тяжелых боев.