— Итак, сегодня мы познакомимся с наукой, нацеленной на исследование законов и форм, приемов и операций мышления. О важности этой темы занятий я не буду говорить. Напомню лишь, что многие мыслители в качестве одного из главных критериев разумности называли способность делать предметом своих раздумий собственные мысли. То есть сегодня мы, изучив логику, подтвердим свое отличие от неразумных животных.

— Не понимаю, что здесь Варька делает, — сказал Ван. — Она не человек, а настоящая тигрица.

Варвара молча показала ему кулак.

— На что я советую обратить внимание? В первую очередь я рекомендую проследить, как используется логический инструментарий для нащупывания пределов могущества "чистого" разума в познании природы. Я объясню, что под этим подразумевается. Мы верим, что каждому описательному высказыванию можно приписать свойство быть либо ложным, либо истинным, и третьего не дано. В глубокой древности возникла идея создания некоего универсального алгоритма вычисления истины, то есть автоматизированного, полностью формализованного способа определения, какое из высказываний истинно, а какое ложно. Если б такой алгоритм был бы найден, то можно было бы вообще исключить человека из познавательного процесса: построй большой компьютер, реализуй на нем программу расчета по этому алгоритму, введи в него необходимые начальные утверждения, принимаемые за аксиомы, — и получи на выходе разъяснения всех тайн природы. Красивая идея, не так ли?

— Красивая, — с готовностью поддакнул Ван.

— Именно для достижения этой цели многими поколениями ученых разрабатывалась так называемая математическая логика. При этом более или менее четко выделились два направления научных исследований. Первое было связано с поиском минимальной и внутренне непротиворечивой системы аксиом, то есть набора исходных, интуитивно очевидных и потому принимаемых без доказательства утверждений, из которых чисто формальными методами можно было бы получить все другие истинные высказывания. Второе направление связывалось с исследованием проблем формализации доказательств и интерпретации различных выражений. И по первому, и по второму направлениям были получены совершенно ошеломляющие результаты.

Герцог Цезийский, старательно слушая учителя, сидел как истукан. На лице его не отражалось никаких эмоций. Селена безответно бросала в его сторону участливые улыбки.

— Было показано, что существует невообразимо огромное количество непротиворечивых наборов аксиом, и нельзя сказать, какой из них более "правильный". У каждого из них оказались свои преимущества и недостатки. Так, например, интуитивно у нас нет возражений против так называемой аксиомы выбора, гласящей, что если задана совокупность непересекающихся множеств, то можно образовать новое множество, выбрав по одному элементу из каждого множества данной совокупности. С использованием этой аксиомы легко доказываются многие теоремы, а соответствующие математические теории выглядят изящными и красивыми. Все бы ничего, но… выявились вдруг совершенно жуткие следствия. В частности, если мы принимаем эту аксиому, то должны согласиться с существованием кривой, проходящей через все точки какого-то куба, но, как и все кривые, не имеющей объема. Немыслимо: нечто заполняет полностью какой-то объем и не имеет при этом никакого объема.