В этой книге речь шла о мысленных экспериментах, математических моделях и физических теориях. Мы познакомились с взаимоотношениями, сложившимися в простои и короткой цепочке: опыт — теория — опыт.

Здесь не написано ни одной математической формулы. Но это лишь видимость. По существу, речь шла именно о математических формулах, так как и математические модели, и физические теории могут быть описаны полностью только при помощи математических уравнений. Только их решение дает возможность испытывать сложные машины, например самолеты, до того, как они изготовлены, позволяет доказать непротиворечивость теории и извлекать из теории предсказания, подлежащие проверке новыми опытами.

Во многих случаях физические теории приводят к очень простым математическим моделям, выражаемым чрезвычайно короткими и простыми на вид математическими формулами. Такая ситуация возникает, например, при изучении течения жидкостей или циркуляции атмосферы.

Не зная способов точного решения, математика прибегает к приближенным решениям при помощи ЭВМ. Но это от слабости. Машинное решение хорошо для проверки гипотезы, для анализа частных случаев, для расчета конструкций, идеи которых возникли на основе интуиции. На большее не способны даже самые совершенные современные ЭВМ. Они не обладают интуицией, присущей людям. Поэтому математики разрабатывают и другие методы качественного анализа уравнений. Эти методы позволяют выявить физическое содержание явления, заложенного в уравнение, и делать предсказания без решения уравнений. Это увлекательный путь. Он пролегает по целине, где намечены лишь отдельные, идущие еще не очень далеко и почти не соприкасающиеся тропы. Многие видят в этом направлении математику будущего, а с ней новый расцвет и быстрый прогресс наук о природе и новую техническую революцию.

Одна из наиболее разведанных троп имеет в основе изучение свойств кривых линий или поверхностей, непосредственно связанных с самими уравнениями. Причем анализ свойств кривых и поверхностей позволяет судить о свойствах решений, несмотря на то, что они не получены.

Не следует думать, что здесь скрыта какая-то невообразимая мистика. Просто таковы новые, еще не покрытые асфальтом и не доведенные до конца пути развития науки. Они уже дают первые результаты.

Кое-что описанное в этой книге получено учеными, смело пошедшими этими новыми путями.

Эти замечания имеют две цели. Первая — подчеркнуть значение математики в современной науке и технике, которая незримо играла свою роль за сценой в описании всех проблем, затронутых в этой книге. Вторая — привлечь интерес читателя к математике, к этой древнейшей науке, находящейся сейчас на пороге нового развития, привлекающей смелых и любознательных своей почти не тронутой целиной.