Две субстанции, имеющие различные атрибуты, не имеют между собой ничего общего.

Доказательство. Это также ясно из определения 3, ибо каждая субстанция должна существовать сама в себе и быть представляема сама через себя, иными словами, представление одной не заключает в себе представления другой.

Теорема 3

Вещи, не имеющие между собой ничего общего, не могут быть причиной одна другой.

Доказательство. Если они не имеют между собой ничего общего, то они не могут быть и познаваемы одна через другую (по акс. 5) и, следовательно, одна не может быть причиной другой (по акс. 4); что и требовалось доказать.

Теорема 4

Две или более различные вещи различаются между собой или различием атрибутов субстанции, или различием их модусов (состояний).

Доказательство. Все, что существует, существует или само в себе, или в чем-либо другом (по акс. 1), т. е. вне ума (extra intellectum) нет ничего, кроме субстанций и их состояний (модусов) (по опр. 3 и 5). Следовательно, вне ума нет ничего, чем могли бы различаться между собой несколько вещей, кроме субстанций, или – что то же (по опр. 4) – их атрибутов и их модусов; что и требовалось доказать.

Теорема 5

В природе вещей не может быть двух или более субстанций одной и той же природы, иными словами, с одним и тем же атрибутом.