Впрочем и, казалось бы, бесспорная достаточность критерия практической приложимости математической теории может подвергаться некоторым сомнениям с общефилософской точки зрения вследствие того направления, которое приняли приложения математических наук в последние десятилетия. Во всяком случае не недостаток практической приложимости его теоретических работ поверг Эйнштейна в конце его жизни в тяжёлые и мрачные сомнения о ценности его научной деятельности.

Многие хорошие математики склонны оценивать достоинства математической работы с точки зрения трудностей, которые в этой работе преодолены: математический результат хорош, если он труден, если его доказательство потребовало от его автора больших творческих усилий. Этот, я бы сказал, спортивный подход к математике так же даёт, как правило, достаточные условия для оценки достоинства математической работы: теоремы, доказательства которых представили большие трудности, обычно являются и интересными, но необходимым условие трудности доказательства теоремы для важности и значительности этой теоремы всё же не является. Например, основные теоремы Штейница об алгебраических полях и их расширениях не являются особенно трудными, однако их значение для развития современной алгебры чрезвычайно велико. Не являются особенно трудными и доказательства основных теорем Лебега об его мере и интеграле, между тем современный математический анализ был бы невозможен без этих теорем. Я уже не говорю о собственно канторовских теоремах по теории множеств, положивших начало всей теоретико-множественной математике новейшего времени. Не следует забывать, что наряду со спортивной трудностью математических результатов существует их идейная значительность, и эти две различные вещи не следует смешивать. Всё это хорошо понимал Гильберт; в своих разговорах об общих познавательных проблемах, связанных с математикой (а Гильберт охотно вёл такие разговоры), он любил отмечать различные ингредиенты математического познания, в частности и логику, и геометрическую интуицию, и призывал к гармонии между ними.

То, что мы в математике во всяком случае склонны оценивать трудность, преодолённую при получении того или иного результата, является одним из проявлений того общего факта, что мы в математике не отделяем собственно результат работы от процесса его получения и содержание от формы. Это сближает математику с искусством и делает возможным эстетический подход к математической работе и математическому творчеству. В некоторой степени эстетический подход возможен и, вероятно, даже неизбежен в применении ко всякому творческому процессу, в частности и к научному. Мне приходилось быть свидетелем такого подхода и, например, со стороны выдающихся врачей-хирургов. Но если говорить о теоретическом научном познании, то нигде этот подход, критерий красоты и внутреннего совершенства, не проявляется с такою силою, яркостью и убедительностью, как именно в математике. Для Гильберта математика, с одной стороны, всегда есть познание, постижение реальности, с другой стороны, субъективно она для него в первую очередь является увлекательным искусством; недаром основным эмоциональным образом, возникающим у Гильберта, когда он говорит о математике, и прежде всего о теоретико-множественной математике, является образ волшебного сказочного или райского сада во всевозможных вариациях этого образа.