Деловые контакты директора Московского института микрохирургии глаза и председателя Госплана СССР переросли в дружбу. Они периодически виделись, перезванивались. По приглашению Федорова Байбаков побывал на открытии первого филиала в Чебоксарах, присутствовал на показательной операции. А в 1990 году (к тому времени Байбаков уже не возглавлял Госплан) Федоров делился с другом впечатлениями от своей поездки в США. Он заключил там контракт на производство глазного хрусталика и рассказывал Байбакову, какие хорошие деньги в валюте можно зарабатывать лечением больных за рубежом.
Благодаря Байбакову о Федорове узнал Фидель Кастро. «Как-то во время моего визита на Кубу я рассказал ему об этом замечательном враче и предпринимателе, — вспоминает Байбаков. — Он очень заинтересовался и попросил меня командировать Федорова на Кубу для передачи опыта местным врачам, что и было сделано. По моему совету Фидель Кастро направил также в Москву в федоровский институт кубинских врачей для обучения. Когда же Кастро приехал в Москву в 1986 году, он посетил глазной институт и пришел в восторг от всего увиденного там; больше всего он был изумлен конвейерными операциями. Он с радостным восхищением сказал мне: «Компаньеро Байбаков, то, что вы рассказывали мне на Кубе о делах Федорова, бледнеет в сравнении с тем, что я увидел и услышал сегодня. Я прошу вас оказать содействие в организации такого комплекса на Кубе».
Был взят Байбаковым под крыло и Гавриил Илизаров — выдающийся хирург-травматолог из Кургана. Он устранял дефекты конечностей без укладки их в гипс, наращивал и вытягивал кости, выпрямлял позвоночники, просто творил чудеса с опорно-двигательным аппаратом. К нему в Курган не прекращалось паломничество. Люди ехали со всех концов страны. Илизаровскому институту уже требовалась гостиница. Посодействовать в ее строительстве — об этом Илизаров просил Байбакова. И еще — о налаживании производства медицинских инструментов, необходимых для проведения операций. «Я не раз встречался с ним, — рассказывает Байбаков, — и мне удалось кое в чем ему помочь. Очень жалко, что он рано ушел из жизни».
В круг людей, которым протежировал Байбаков, однажды попала и Джуна (Евгения Давиташвили) — популярный в СССР экстрасенс и астролог. Молва наделяла ее даром целительства и предвидения. Она была вхожа в дома самых высокопоставленных чиновников.
Если Пугачева, Довженко, Федоров и другие приходили к председателю Госплана просителями, то в случае с Джуной было наоборот. Не она нуждалась в Байбакове, а он в ней. Дело в том, что в 1976 году заболела жена Байбакова Клавдия Андреевна. На протяжении последующих четырех лет она постоянно недомогала. Узнав, что в Тбилиси есть некая целительница, которая лечит методом бесконтактного массажа, Байбаков в апреле 1981 года позвонил председателю Совета министров Грузии Зурабу Патаридзе. Тот дал Джуне высокую оценку и рекомендовал обратиться к ней. Через пару дней Джуна прилетела в Москву, Байбаков пригласил ее к себе домой. С того дня началось лечение Клавдии Андреевны. Своей властью Байбаков зачислил Джуну экспертом в ведомственную поликлинику. А еще через некоторое время Джуна была принята на работу старшим научным сотрудником в Институт радиотехники и электроники им. В. А. Котельникова Российской академии наук.