Предвидим протест или по меньшей мере удивление некоторых читателей. Как же так? Такое важное математическое понятие, как «доказательство», имеет столь нечёткое определение, да и вообще не определение, а описание, пояснение. На это у нас два возражения. Во-первых, даже в математике всё определить невозможно, ведь одни понятия определяются через другие, другие – через третьи и т. д. Но и этот процесс не может продолжаться бесконечно. Поэтому мы вынуждены где-то остановиться. Во-вторых, понятие доказательства не есть математическое понятие (подобное, скажем, понятию действительного числа или понятию многоугольника); по отношению к математике оно не внутреннее, а внешнее; оно принадлежит не математике, а психологии (и отчасти лингвистике). Однако невозможно представить себе современную математику без повсеместного использования этого понятия.

Можно ли предложить разумную классификацию всевозможных доказательств, т. е. убедительных рассуждений? Вряд ли. Тем более что доказательство, как правило, состоит из нескольких (иногда очень многих) этапов, и на каждом этапе применяется свой способ убеждения. Можно, однако, среди схем доказательства выделить несколько часто повторяющихся; ниже некоторые из таких схем будут изложены.

Чтобы не дезориентировать читателя, сделаем два предупреждения.

Предупреждение первое. Было бы глубоким заблуждением считать, что других методов доказательства не бывает. Да и само выделение схем достаточно условно. Ведь нередко бывает, что одна схема вклинивается в другую; скажем, внутри доказательства по индукции может встретиться доказательство от противного, и наоборот.

Предупреждение второе. Ниже будут приведены примеры лишь очень простых и коротких доказательств. Между тем многие математические доказательства и гораздо сложнее, и гораздо длиннее, они могут занимать десятки, сотни и даже тысячи страниц. Поясним, откуда берутся эти тысячи. Дело в том, что каждое доказательство опирается на какие-то факты, и, если включить в него и полные доказательства всех этих фактов, тут-то и могут потребоваться тысячи страниц.

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

§ 2. О точности и однозначности математических терминов

Но прежде чем продолжить разговор о доказательствах, необходимо сказать несколько слов о математической терминологии.

Убедительность математических доказательств поддерживается отчётливостью, недвусмысленностью математических утверждений. Когда, например, говорят, что один общественный строй более прогрессивен, чем другой, то не вполне ясно, что в точности это означает. А вот когда говорят, что две прямые пересекаются, то каждому однозначно понятен смысл этих слов.