Возможны два понимания того, что такое натуральное число, отличающиеся друг от друга в одном пункте: считать ли ноль натуральным числом? В школьных учебниках понятие натурального числа обычно выводят из пересчёта предметов, и потому натуральный ряд начинают с единицы. Но можно понимать натуральное число и как количество элементов какого-либо конечного множества. Поскольку одним из конечных множеств является пустое множество, вовсе не содержащее никаких элементов (например, множество ныне живущих динозавров), а количество элементов пустого множества есть ноль, то – при этом втором понимании – и наименьшее натуральное число есть ноль. При первом понимании понятие натурального числа совпадает с понятием целого положительного числа, при втором – с понятием целого неотрицательного числа. Подчеркнём, что каждое из указанных двух понятий имеет совершенно точное, недвусмысленное содержание, а двусмысленность заключается в терминологии, поскольку каждое претендует на то, чтобы его называли «натуральным числом». Дабы избежать неясностей, первое понятие можно было бы называть считательным натуральным числом, а второе – количественным натуральным числом.

Натуральный ряд – это, по определению, множество всех натуральных чисел. Сообразно сказанному есть два понятия натурального ряда: одно из них предполагает, что натуральный ряд начинается с ноля, другое – что с единицы.

Каждая из двух точек зрения на то, чтó понимать под терминами «натуральное число» и «натуральный ряд», имеет свои преимущества. Которую из них выбрать – дело вкуса. Но какую-то надо выбрать обязательно. Потому что невозможно ни говорить о доказательствах, ни тем более доказывать что-нибудь, не договорившись о значениях терминов. Чтобы не слишком уклоняться от школьной терминологии, мы будем начинать натуральный ряд с единицы. Впрочем, в некоторых из приводимых ниже примеров на тему индукции удобнее относить к натуральным числам и ноль. Желающих начинать натуральный ряд с ноля призываем слегка переделать последующее изложение метода индукции, а именно: в базисе индукции надо положить n = 0 вместо n = 1.

Теперь о слове «равно». Основное значение этого термина в математике таково: говорят, что два предмета равны, если они совпадают. Именно этот смысл вкладывается и в выражающий равенство символ =. Когда, например, пишут 3 + 5 = 8, то эту запись понимают как выражающую такое утверждение: предмет, обозначенный символом 3 + 5, совпадает с предметом, обозначенным символом 8. Казалось бы, никакое иное понимание и невозможно. К сожалению, возможно, и оно хорошо известно читателю. Это иное понимание появляется в школьном курсе геометрии. Там равными фигурами называют такие, которые могут и различаться, но совпадут после того, как одна из них путём перемещения будет совмещена с другой. Именно так понимается, скажем, равенство отрезков AB и EF или треугольников ABC и EFG. И эти равенства записывают в виде AB = EF и Δ АВС = Δ EFG, так что смысл знака = здесь не тот, какой был указан выше.