Принцип наименьшего числа может быть использован для построения нового варианта «стандартного рассуждения», призванного обосновать истинность универсальной формулировки. Вспомним, что мы обосновывали её, делая последовательные переходы от A(1) к A(2), от A(2) к A(3) и т. д. Теперь же будем рассуждать от противного. Покажем, как строится рассуждение, на примере 26. Предположим, что бывают карты указанного вида, которые нельзя правильно раскрасить. Назовём число n «плохим», если существует карта, образованная n прямыми, которую нельзя правильно раскрасить. По предположению «плохие» числа существуют; следовательно, множество всех таких чисел не пусто. Применяя к нему принцип наименьшего числа, получаем, что существует наименьшее «плохое» число a. В силу базиса индукции а ≠ 1. Значит, a = k + 1, где k – натуральное число. Так как a – наименьшее из «плохих» чисел, то k не является плохим; следовательно, всякую карту, образованную k прямыми, можно правильно раскрасить. Но тогда в силу индукционного шага можно правильно раскрасить и всякую карту, образованную a = k + 1 прямыми. Полученное противоречие убеждает нас, что исходное предположение о существовании карт, не допускающих правильной раскраски, не соответствует действительности. Таким образом, мы получили доказательство того, что всякую карту, образованную прямыми, можно раскрасить правильно.