Пример 4. В 1742 г. российский математик Христиан Гольдбах выдвинул такую гипотезу: всякое натуральное число n, начиная с 6, есть сумма трёх простых чисел. Для небольших n гипотезу Гольдбаха можно проверить непосредственно; например, 96 = 2 + 47 + 47. С другой стороны, для очень больших нечётных чисел гипотеза тоже верна: как доказал в 1937 г. И. М. Виноградов, гипотеза Гольдбаха верна для всех нечётных чисел n, бóльших некоторого громадного n0. Что касается самого этого n0, то из результатов Виноградова и его последователей вытекает, что в качестве n0 можно взять, например, число 314 348 907, требующее свыше 6,5 млн знаков для своей десятичной записи. Оставалось, таким образом, проверить все нечётные числа от 7 до названного числа, и тогда для нечётных чисел гипотеза Гольдбаха оказалась бы либо доказанной, либо опровергнутой. Однако такая проверка совершенно нереальна. В 2013 г. перуанский математик Харальд Хельфготт доказал, что не только очень большие, но любые нечётные числа, начиная с 7, представимы в виде суммы трёх простых чисел. Тем самым проблема Гольдбаха была решена для нечётных чисел.
Пример 4.
n,
n
нечётных
нечётных чисел n
n
n
n
нечётных чисел
Пример 5. Целые числа вида n² + 1 обладают следующим свойством: у них не бывает простых делителей вида 4k + 3.
Пример 5.
n
k
Если перед читателем встанет задача проверить это свойство для предъявленного ему множества (в другом варианте – для одного, но большого числа вида n² + 1), то что он предпочтёт: решать задачу перебором или же искать в математической литературе доказательство общей теоремы относительно чисел вида n² + 1, а то и пытаться самому сочинить такое доказательство?
n
n
§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле
§ 4. Косвенные доказательства существования. принцип дирихле
Самый естественный способ доказать, что объект с заданными свойствами действительно существует, – это его указать, назвать, построить (и, разумеется, убедиться, что он действительно обладает нужными свойствами). Чтобы доказать, например, что данное уравнение имеет решение, достаточно указать какое-то его решение. Такие доказательства существования чего-нибудь называются прямыми, или конструктивными. Прямыми будут, например, приводимые в примерах 17 и 18 доказательства существования несоизмеримых отрезков, поскольку такая пара отрезков будет там указана.