Пример 18. Несоизмеримость гипотенузы и катета равнобедренного прямоугольного треугольника. Геометрическое доказательство. Рассуждать будем так. Для каждого равнобедренного прямоугольного треугольника Q построим другой равнобедренный прямоугольный треугольник Q´ с более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´. Применяя к Q´ ту же конструкцию, получим равнобедренный прямоугольный треугольник Q´´ с ещё более коротким катетом и такой, что всякая общая мера катета и гипотенузы треугольника Q' служит также общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´. К треугольнику Q´´ снова применяем ту же конструкцию. И так далее. Получаем бесконечную последовательность равнобедренных прямоугольных треугольников Q, Q´, Q´´, Q´´´, … со всё более и более короткими катетами; при этом всякая общая мера катета и гипотенузы исходного треугольника Q будет в то же время и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´, а значит, и общей мерой катета и гипотенузы треугольника Q´´, а следовательно, катета и гипотенузы треугольника Q´´´ и т. д. Это построение, которое мы осуществим ниже, и позволяет провести доказательство от противного.

Действительно, предположим, что некоторый отрезок a является общей мерой для катета и гипотенузы треугольника Q. Тогда для каждого из треугольников Q^(k) он является общей мерой катета и гипотенузы этого треугольника. Отсюда следует, что в катете каждого из этих треугольников он укладывается какое-то целое число раз. Пусть отрезок a укладывается n раз в катете треугольника Q, пусть далее этот отрезок укладывается n´ раз в катете треугольника Q´, n´´ раз – в катете треугольника Q´´ и т. д. Поскольку длины катетов уменьшаются, то n > n´ > n´´ > n´´´ > …; таким образом, мы получаем бесконечную последовательность убывающих натуральных чисел, что невозможно. А это значит, что было неверным наше исходное предположение о существовании у катета и гипотенузы треугольника Q общей меры.