Второе доказательство – с использованием принципа наименьшего числа. Рассмотрим множество натуральных чисел, к которому отнесём всякое число, являющееся знаменателем какой-нибудь из дробей нашей коллекции равных дробей. Найдём в этом множестве наименьшее число. Дробь с таким знаменателем будет несократима, потому что при любом сокращении и числитель, и знаменатель уменьшаются.

Третье доказательство – с использованием второй формулировки принципа наименьшего числа. Предположим, что в нашем множестве дробей нет несократимой. Возьмём произвольную дробь из этого множества и сократим её. Полученную тоже сократим и т. д. Знаменатели этих дробей будут всё меньшими и меньшими, и возникнет бесконечная убывающая последовательность натуральных чисел, что невозможно.

Продемонстрированный в третьем доказательстве примера 15 вариант метода от противного, когда возникающее противоречие состоит в появлении бесконечной последовательности убывающих натуральных чисел (чего, повторим, быть не может), называется методом бесконечного (или безграничного) спуска.

Пример 16. Вот ещё пример на метод бесконечного спуска. Выше, говоря о методе перебора, мы упомянули, что уравнение x4 + y4 = z2 не имеет решений в области натуральных чисел. Стандартный способ доказательства этого факта состоит в доказательстве от противного: противоречие выводится из предположения, что существует тройка (а, b, с) натуральных чисел, являющаяся решением уравнения, т. е. такая, что a4 + b4 = c2. Для получения требуемого противоречия применяют метод бесконечного спуска. Мы не будем здесь излагать, как именно осуществляется описываемое ниже построение[139], а ограничимся общей идеей. Идея же состоит в том, что указывается способ, следуя которому для каждой тройки натуральных чисел (а, b, с), служащей решением нашего уравнения, строится другая тройка натуральных чисел (а´, b´, с´), также служащая решением того же уравнения, но такая, что |с´| < |c|. Применяя этот метод, для тройки решения (а´, b´, с´) можно построить тройку-решение (а´´, b´´, с´´), а для этой последней – тройку (а´´´, b´´´, с´´´) и т. д. А тогда возникает невозможная убывающая последовательность натуральных чисел |c| > |c´| > |с´´| > |c´´´| >….

Пример 16. Вот ещё пример на метод бесконечного спуска. Выше, говоря о методе перебора, мы упомянули, что уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет решений в области натуральных чисел. Стандартный способ доказательства этого факта состоит в доказательстве от противного: противоречие выводится из предположения, что существует тройка (а, b, с) натуральных чисел, являющаяся решением уравнения, т. е. такая, что a⁴ + b⁴ = c². Для получения требуемого противоречия применяют метод бесконечного спуска. Мы не будем здесь излагать, как именно осуществляется описываемое ниже построение[139], а ограничимся общей идеей. Идея же состоит в том, что указывается способ, следуя которому для каждой тройки натуральных чисел (а, b, с), служащей решением нашего уравнения, строится другая тройка натуральных чисел (а´, b´, с´), также служащая решением того же уравнения, но такая, что |с´| < |c|. Применяя этот метод, для тройки решения (а´, b´, с´) можно построить тройку-решение (а´´, b´´, с´´), а для этой последней – тройку (а´´´, b´´´, с´´´) и т. д. А тогда возникает невозможная убывающая последовательность натуральных чисел |c| > |c´| > |с´´| > |c´´´| >….