Пример 36 (Кантор). Доказать, что множества Ω и N имеют различное количество элементов.

Для этого мы должны установить невозможность взаимно однозначного соответствия между указанными множествами. Рассуждаем от противного. Пусть такое соответствие возможно. Тогда бесконечные двоичные последовательности, из которых состоит множество Ω, можно занумеровать натуральными числами: первая, вторая, третья и т. д. Расположим эти последовательности друг под другом. Возможный вариант такого расположения показан ниже.

Естественно возникает бесконечная диагональная последовательность: в ней на первом месте стоит первый член первой последовательности, на втором – второй член второй последовательности, …, на сотом – сотый член сотой последовательности и т. д. Для показанного варианта диагональная последовательность будет иметь вид 0101110000… Меняем в ней все члены и получаем бесконечную последовательность 1010001111 …, которая отсутствует в нашем перечне в силу причин, изложенных в примере 35. Стало быть, наше предположение, что мы пронумеровали все двоичные бесконечные последовательности, оказалось ложным.

Естественно возникает бесконечная диагональная последовательность: в ней на первом месте стоит первый член первой последовательности, на втором – второй член второй последовательности, …, на сотом – сотый член сотой последовательности и т. д. Для показанного варианта диагональная последовательность будет иметь вид 0101110000… Меняем в ней все члены и получаем бесконечную последовательность 1010001111 …, которая отсутствует в нашем перечне в силу причин, изложенных в примере 35. Стало быть, наше предположение, что мы пронумеровали все двоичные бесконечные последовательности, оказалось ложным.

§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики

§ 9. Задачи из элементарной комбинаторики

Выражение (читается «цэ из n по k») означает количество k-элементных частей n-элементного множества или, в более современной терминологии, количество частей мощности k множества мощности n.

Пример 37. Доказать равенство Пусть множество M имеет n элементов. Каждому его подмножеству A мощности k взаимно однозначно соответствует его дополнение M \ A, состоящее в точности из тех (n – k) элементов, которые не входят в A. Наличие этого взаимно однозначного соответствия и доказывает равенство. Пример 38. Доказать равенство Равенство очевидно, если вспомнить, что количество частей n элементного множества равно 2n (см. пример 33). Равенство (*) из примера 39 не столь очевидно. Пример 39. Доказать равенство