Указанный смысл нуждается в дальнейшем уточнении. Ведь понятие формального доказательства осмысленно лишь тогда, когда предъявлены аксиомы и правила вывода. Достаточно взять любое утверждение и включить его в число аксиом – и оно тут же сделается доказуемым формально. Чтобы не осложнять изложение, ограничимся ситуациями, при которых ни одно утверждение, не являющееся истинным, не может оказаться доказуемым (для этого достаточно, чтобы аксиомы выражали истинные утверждения, а правила вывода сохраняли истинность). Тогда точная, хотя и требующая разъяснений, формулировка теоремы Гёделя такова: если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдётся истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.
если язык достаточно богат, то какой бы список аксиом и какой бы список правил вывода ни были предъявлены, в этом языке найдётся истинное утверждение о натуральных числах, не имеющее формального доказательства.
Жанр очерка не позволяет дать предложенной «точной» формулировке исчерпывающих объяснений. Но некоторые намётки всё же сделаем.
Под утверждениями о натуральных числах понимаются такие, которые помимо общелогических понятий (вроде 'и', 'если… то', 'существует', 'равно' и т. п.) используют в своих формулировках лишь натуральные числа и операции сложения и умножения.
утверждениями о натуральных числах
Под достаточным богатством языка понимается его способность выражать некоторые утверждения о натуральных числах. Чтобы было понятно, чтó имеется в виду, заметим, что тот язык, на примере которого выше демонстрировался формальный аксиоматический метод, является «бедным»: в нём можно выразить лишь очень простые утверждения о натуральных числах, а именно такие утверждения, которые можно сформулировать, используя лишь обозначения чисел (т. е. нумералы), переменные x и y, операцию «'» и общелогические понятия «равно», «существует», «неверно, что», «если… то»). Богатство же языка означает его способность выражать более сложные утверждения о числах: требуется, чтобы для любого перечислимого множества натуральных чисел в языке имелась формула, выражающая принадлежность к этому множеству натурального числа. Дальнейшие объяснения потребовали бы изложения основ математической логики и теории алгоритмов, а потому здесь мы остановимся.
достаточным богатством языка
x
y
Семь размышлений на темы философии математики
Семь размышлений на темы философии математики
1. Действительно ли в математике всё определяется и доказывается?