Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа – считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т. д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью[147], так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за полярный круг».

Замечание. Читатель был вправе удивиться тому, что мы считаем ноль натуральным числом, тогда как в школе учат, что наименьшим натуральным числом является единица. Дело в том, что на самом деле есть два понятия натурального числа – считательное и количественное. Считательные натуральные числа возникают в процессе пересчёта предметов: один, два, три и т. д. Поэтому наименьшее считательное число есть единица. В начальных классах школы появляются именно считательные числа. Количественное же натуральное число отражает количество предметов конечной совокупности, каковая совокупность может быть и пустой, т. е. не содержать ничего. Поэтому наименьшее количественное число есть ноль (нуль). Вот что писал по этому поводу выдающийся математик Павел Сергеевич Александров (следует учесть, что математики обычно вместо слова «совокупность» употребляют слово «множество», имеющее в математике тот же смысл): «К числу конечных множеств мы причисляем и пустое множество, т. е. множество, не содержащее ни одного элемента; число элементов пустого множества есть нуль. Необходимость рассмотрения пустого множества видна из того, что, когда мы определяем тем или иным способом множество, то мы можем и не знать заранее, содержит ли оно хотя бы один элемент. Например, вероятно, множество страусов, находящихся в данный момент за полярным кругом, пусто; однако мы не можем этого утверждать с уверенностью[147], так как, может быть, какой-нибудь капитан и завёз какого-нибудь страуса за полярный круг».