Итак, будем придирчиво требовать от определения исчерпывающей полноты, т. е. будем требовать, чтобы определяемое понятие выражалось с помощью общепринятых синтаксических конструкций через другие понятия, отправные для рассматриваемого определения. С учётом сказанного попробуем предложить такую формулировку: натуральное число – это мощность конечного множества. В этом определении участвуют три основных понятия: 1) множество, 2) мощность, 3) конечное. В рамках тех теорий, в которых эти понятия уже как-то разъяснены (в частности, объявлены неразъясняемыми, или первичными), приведённая только что формулировка действительно является определением натурального числа. Именно такое определение – в идейном смысле такое с точностью до несущественных деталей – принято, например, в трактате Николя Бурбаки «Начала математики»[146]. (Напомним в связи с этим, что полное имя единицы в теории Бурбаки требует для своей записи десятков тысяч знаков [6, с. 188].) Однако здравый смысл отказывается признать понятия множества, мощности, конечного более простыми, чем понятие натурального числа. Здесь типичный пример определения простого через сложное. (Как в прибаутке: «Плазма или, короче говоря, протоплазма».)

Сказанное не следует воспринимать как критику в адрес Н. Бурбаки и других авторов, предлагающих аналогичные формулировки. Разумеется, они, как и все люди, имеют априорное представление о натуральном числе (априорное, конечно же, по отношению к предлагаемому определению, но не к опыту). Они не ставят себе цели дать объясняющее определение понятия натурального числа (т. е. определение, которое могло бы послужить для обучения новичка). Их цель более скромна и более технична – дать определение этому понятию в рамках излагаемой аксиоматической теории множеств.

Можно определить понятие функции через понятие пары, а можно – понятие пары через понятие функции. Ясно, что эти умственные построения имеют мало общего с объяснением непосвящённому, что такое пара и что такое функция. Все предыдущие рассуждения имеют целью подвести к следующей почти очевидной мысли. Оставим в стороне математическую и логическую проблематику, связанную с поисками определения (а правильнее было бы сказать «поисками отражения, моделирования») понятия натурального числа в рамках той или иной аксиоматической теории. Займёмся попытками дать «наивное» объяснение понятия натурального числа, позволяющее незнающему узнать, что это такое. Довольно скоро мы убеждаемся, что такие попытки бесплодны. Натуральное число следует признать первичным, неопределяемым понятием, одной из категорий математики.