§ 11

Одно из фундаментальных различий, фиксируемых математикой, есть различие между упорядоченной и неупорядоченной парой.

Неупорядоченная пара, составленная из объектов a и b, – это просто совокупность, коллекция, куча и т. д. (на математическом языке – множество), содержащая эти два объекта; никакого различия в ролях этих объектов не имеется, а потому бессмысленно спрашивать, какой из них на каком месте: какой первый, а какой второй, какой главный, а какой второстепенный. Неупорядоченная пара объектов a и b обозначается посредством заключения их имён в фигурные скобки: {а, b}. Из двух объектов можно составить ровно одну неупорядоченную пару, поэтому {а, b} = {b, а}.

В отличие от неупорядоченной пары, упорядоченная пара, составленная из объектов а и b, заключает в себе ещё и информацию о том, какое место в паре занимает каждый из членов пары. Мест в упорядоченной паре два. Для единообразия эти места обычно называют первым и вторым. Можно было бы называть их по-другому: например, белым и чёрным, красным и зеленым, левым и правым или ещё как-нибудь; важно лишь, что эти места как-то помечены и отличаются одно от другого. Упорядоченная пара, в которой объект а является первым, а объект b – вторым, обозначается посредством заключения в угловые скобки их имён, взятых в надлежащем порядке: <а, b>. Упорядоченная пара, в которой объект b является первым, а объект а – вторым, обозначается, следовательно, так: <b, а>. Эти две пары считаются различными, если только различны сами а и b. Таким образом, из двух различных объектов можно составить ровно две упорядоченные пары. Если же объекты а и b совпадают, то в этом (и только в этом!) случае, конечно, <a, b> = <b, а>.