Случайность блужданий без памяти имеет свои законы. Эти законы не могут ничего сказать про одного конкретного блуждателя: его приключения на то и случайны (хотя мы и не ожидаем всерьез, что он сделает миллион шагов подряд в одном и том же направлении). Но, представляя себе, что блуждателей много или даже что один и тот же энтузиаст проделывает подобное упражнение каждый вечер, вполне разумно интересоваться их судьбой в среднем. Если на расстоянии 30 шагов вправо по улице находится автобусная остановка и, единожды дойдя до нее, незадачливый персонаж останется там ждать автобуса, то как долго в среднем ему придется ходить туда-сюда, чтобы все-таки оказаться у остановки? Можно спросить и наоборот: на каком максимальном расстоянии от места старта побывает – скорее всего, побывает – блуждатель, если сделает 100 шагов? А если сделает 1000? При блужданиях в двух измерениях – по плоскости – аналогичный вопрос задается про время/число шагов, которое требуется, чтобы выйти из круглого парка. Примеры блужданий в двух измерениях показаны на рис. 9.3: это уже не графики отклонения в зависимости от числа шагов, а сами траектории случайных блуждателей на плоскости. На левом рисунке три блуждателя начинают из одной и той же точки; в каждый момент времени 0, 1, 2, 3, … каждый из них случайным образом выбирает направление и делает шаг длины 1. Общее свойство броуновских блужданий, вне зависимости от числа измерений, выражается в том, насколько далеко с течением времени уходят блуждатели. Ответ: максимальное достигнутое удаление от начала в среднем пропорционально квадратному корню из времени. Точнее, это квадратный корень, умноженный еще на некоторое число – оно важно для реального броуновского движения, но в нашей простой модели равно единице. Сделав 100 шагов, наш блуждатель удалится в среднем на 10 шагов от начала, а сделав 225 шагов – на 15 шагов от начала. Уйти далеко оказывается не самой простой задачей: понадобится (в среднем) совершить 10 000 шагов, чтобы (в среднем!) достичь удаления в 100 шагов от начала. Конечно, чтобы общие закономерности восторжествовали, может понадобиться довольно долгое хождение. Для реализаций, приведенных на рис. 9.3 слева, например, оказалось, что один из блуждателей за 300 сделанных им шагов не ушел далеко от центра, а двое других проявили себя активнее (и по случайности все они разошлись в разных направлениях; вообще-то 300 шагов – это очень мало). Тем не менее при большом числе испытаний получается та самая картина квадратного корня из времени. Это совсем не похоже на движение тел, как мы его знаем: движение с постоянной скоростью означает, что расстояние растет так же, как и время: в три раза дольше означает в три раза дальше. В окружении же «раздробленного» движения, передающего блуждателю случайные пинки, требуется прождать в девять раз дольше, чтобы (в среднем!) получилось в три раза дальше[165].