Интересное и неожиданное свойство додекаэдрического пространства Пункаре состоит в том, что хотя его первое число Бетти равно 0, оно не является односвязным. То есть любой цикл гомологичен нулю, но существуют циклы, которые нельзя стянуть в точку. На рис. 23.3 мы видели пример нетривиального гомологичного нулю цикла на двойном торе, но в додекаэдрическом пространстве всякий цикл, который нельзя стянуть в точку, гомологичен нулю.

Из этого экзотического примера Пуанкаре сделал вывод, что одной гомологии недостаточно, чтобы охарактеризовать не только Sⁿ, но даже S³. Поэтому он отложил в сторону вопрос в n-мерном случае и сосредоточился на 3-мерных многообразиях. Он подозревал, что если все циклы на 3-мерном многообразии топологически тривиальны, то многообразие должно быть геомеоморфно S³. Это и стало содержанием знаменитой ныне гипотезы Пуанкаре²¹⁷.

Гипотеза Пуанкаре

Любое односвязное замкнутое трехмерное многообразие гомеоморфно трехмерной сфере.

На самом деле в статье Пуанкаре это утверждение выдвигалось не в виде гипотезы, а в виде вопроса. Он не сформулировал своего мнения о том, каким будет ответ. Доказательство этой теоремы, конечно, несопоставимо с классификацией всех трехмерных многообразий, но стало бы важным первым шагом.

Знатные вызовы всем по вкусу, а уж гипотеза Пуанкаре — всем вызовам вызов. Она вошла в короткий список задач — вместе с теоремой о четырех красках, великой теоремой Ферма и гипотезой Римана, — получивших мистический статус. Как и остальные проблемы из этого списка, гипотеза Пуанкаре целиком захватывала тех, кто над ней работал. Несть числа молодым математикам, вступившим в эту схватку. Как писал один журналист, «математики говорят о гипотезе Пуанкаре, как Ахав толковал о Белом ките»²¹⁸. Начиная с 1904 года многие заявляли, будто нашли доказательство. Но до недавнего времени все доказательства содержали дефекты — иногда тонкие ошибки, укрывшиеся в сотнях страниц глубокой математики.

В конце концов, гипотеза была обобщена на n-мерные многообразия — любое n-мерное многообразие, в достаточной степени похожее на n-мерную сферу, должно быть гомеоморфно Sⁿ. Может показаться, что это обобщение до нелепости амбициозно. Как можно доказать его для n = 100, если мы даже для n = 3 не можем этого сделать? Если я лежа не могу выжать 80 килограммов, то с чего я вообразил, будто смогу поднять 225? Но, как ни странно это звучит, для больших n гипотеза проще! Часто бывает, что топология в пространствах малой размерности сложнее, чем в случае большой размерности. Грубо говоря, чем больше измерений, тем больше свободы двигать предметы, избегая столкновений.