В том же году Ричард Гамильтон, математик из Корнеллского университета, приступил к реализации программы, которая, по его мнению, должна была доказать гипотезу геометризации Тёрстона²²⁶. Он хотел взять произвольное трехмерное многообразие и, надувая его, как воздушный шарик, непрерывно деформировать в форму, которая, как он надеялся, будет точно отвечать модели Тёрстона. На пути к этой цели он добился значительного прогресса. Большинство специалистов полагало, что его техника должна сработать, но ни Гамильтон, ни кто-либо еще не смогли избавиться или еще как-то решить проблему сингулярностей — участков многообразия, которые не только не становились лучше при надувании, но даже превращались в нечто худшее.

В 2002 году скромный российский математик Григорий Перельман (Гриша) (родился в 1966 г.) из Математического института им. Стеклова поразил математическое сообщество, опубликовав в интернете первую из трех коротких, но чрезвычайно насыщенных статей. В этих статьях общим объемом всего 68 страниц автор утверждал, что довел до конца исследовательскую программу Гамильтона, которой исполнилось уже двадцать лет²²⁷. В них показано, что некоторые сингулярности вообще никогда не возникают, а другие при должной аккуратности можно устранить. В совокупности статьи содержали доказательство гипотезы геометризации и, как следствие, классической гипотезы Пуанкаре.

Математическое сообщество было настроено скептически — такие заявления звучали и раньше, а в статьях было очень мало деталей, — но и с осторожным оптимизмом. Перельман был уважаемым математиком и следовал широко признанному плану Гамильтона.

В рассуждениях Перельмана многое осталось недосказанным. Даже лучшие специалисты по геометрии и топологии испытывали трудности при проверке правильности доказательства. Три независимые группы математиков под микроскопом изучили его аргументы, восполнив недостающие детали²²⁸. Средняя длина анализа составила свыше трехсот страниц. Никаких серьезных ошибок не было найдено.

К концу 2006 года сложилось общее мнение, что доказательство Перельмана правильно. В тот год журнал «Science» назвал доказательство Перельмана «прорывом года»²²⁹. Как Смейл и Фридман до него, сорокалетний Перельман был номинирован на филдсовскую премию за вклад в доказательство гипотезы Пуанкаре (Тёрстон тоже получил филдсовскую премию за работу, которая косвенно привела к окончательному доказательству). Начался обратный отсчет времени в гонке за приз в миллион долларов (некоторые полагают, что награду вручат Перельману и Гамильтону вместе).