III. Уловить, в чем состоит сущность числа, или, что то же, определить, что́ такое число по своей сущности, довольно трудно. Нам кажется, что сущность числа есть повторяемость, подобно тому как сходство и различие есть само повторяемое. И в самом деле, когда мы созерцаем в действительности или мыслим какое-либо число, мы созерцаем или мыслим нечто повторяемым столько раз, сколько содержится единиц в этом числе, или точнее: в нашем сознании или для нашего зрения возникает некоторое число, повинуясь повторяемости каких-либо предметов, мыслимых или реальных; так что если бы не было этой повторяемости, не было бы и числа. Из этого прямо следует, что число есть отражение, символ повторяемости, или, точнее – есть отраженная, символизированная повторяемость. И этому не противоречит то, что счисляются предметы не всегда сходные (не всегда повторяемые); потому что в различных предметах счисляется всегда сходное, напр., в счисляемых вещах, находящихся в данном месте, счисляется повторяемость независимых существований, которые все сходны между собою.

IV. Из свойств чисел (и величин, обозначаемых числами) замечательна способность увеличиваться и уменьшаться неограниченно. Увеличиваясь и уменьшаясь, числа сравниваются между собою – отсюда явления равенства и уравнения, становятся больше и меньше друг друга – отсюда явление большего и меньшего числа и величины. В этих трех явлениях, обозначаемых особыми знаками в математике, выражаются основные отношения между величинами: а = b, а > с, а < d.

Это свойство увеличиваться и уменьшаться, ошибочно принимаемое за выражение сущности числа и величины, было ошибочно введено в их определение, которое в действительности должно стремиться к раскрытию природы определяемого, а не к указанию только на его признак. Да и ошибочно думать, что это свойство присуще всем величинам и что поэтому величина есть то, что может становиться больше и меньше. Отношение окружности к диаметру неизменно; оно не может ни увеличиваться, ни уменьшаться и, однако же, есть величина. И напротив, есть многое в природе, что способно увеличиваться и уменьшаться, но что, однако же, не есть величина, напр. желание и чувство гнева.

Что касается до модусов (образов) увеличения и уменьшения, то их несколько: увеличение и уменьшение на сколько-нибудь (а + b и а – b) и увеличение и уменьшение во сколько-нибудь раз. Последний модус имеет еще две разновидности: увеличение и уменьшение не само на себя (а × b и а : b) и на само себя (а² и √a). Оба основные модуса распадаются еще на две формы: увеличение и уменьшение на что-нибудь или во сколько-нибудь один раз и неопределенное число раз; вторая форма дает ряды, к числу которых относится прогрессия арифметическая (2. 4. 6. 8…) и прогрессия геометрическая (2. 4. 8. 16…).