R.Courant und D.Hilbert, Methoden der mathematischen Physik, Berlin, Bd. 1, 2. Aufl., 1931; Bd. 2, 1937;
Methoden der mathematischen Physik
D.Hilbert, W.Ackermann, Grundzuge der theoretischen Logik, Berlin, 1928;
Grundzuge der theoretischen Logik
D.Hilbert und S.Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Berlin, 1932;
Anschauliche Geometrie
D.Hilbert und Р.Bernays, Grundlagen der Mathematik, Berlin, Bd. 1, 1934; Bd. 2, 1939.
Grundlagen der Mathematik
Собрание его трудов содержит статьи Б. Л. ван дер Вардена, X. Хассе. А. Шмидта, П. Бернайса и Э. Хеллингера о работе Гильберта в области алгебры, теории чисел, оснований геометрии и арифметики, интегральных уравнений. В них прослеживается дальнейшее развитие этих областей и даются подробные библиографические ссылки. Читатель может также обратиться к номеру Die Naturwissenchaften 10 (1922), 65–104, посвящённому Гильберту. В нём содержится обзор его работ до 1922 года. Кроме того, укажем на статью Бибербаха (L.Bieberbach), Ueber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag uber «Mathematische Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreissig Jahren, Die Naturwissenschaften 18 (1930), 1101–1111. О. Блюменталь описал жизнь Гильберта (Собрание трудов, т. 3, стр. 388–429).
Die Naturwissenchaften
10
Ueber den Einfluss von Hilberts Pariser Vortrag uber «Mathematische Probleme» auf die Entwicklung der Mathematik in den letzten dreissig Jahren
18
Я опускаю все ссылки на литературу, указанную в этих статьях.
ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
ТЕОРИЯ ИНВАРИАНТОВ
Классическая теория инвариантов имеет дело с многочленами J = J(x1, ..., xn), зависящими от коэффициентов x1, ..., xn одной или нескольких форм от данного числа переменных η1, ..., ηg. Каждая линейная подстановка s с определителем, равным 1, применённая к g аргументам, индуцирует некоторое линейное преобразование U(s): x → x' = U(s)x переменных коэффициентов x1, ..., xn. При этом многочлен J = J(x1, ..., xn) переходит в новый многочлен J(x'1, ..., x'n) = Js(x1, ..., xn). J называется инвариантом, если Js = J для всех s. (Ограничение унимодулярными преобразованиями s позволяет нам избежать более сложного понятия — относительного инварианта и рассматривать не обязательно однородные многочлены, благодаря чему можно вводить в рассмотрение кольцо инвариантов.) Классическая проблема инвариантов является частным случаем общей проблемы инвариантов, в которой s принадлежит произвольной абстрактной группе Γ, а правило s → U(s) определяет представление этой группы (т.е. закон, сопоставляющий каждому элементу s ∈ Γ некоторое линейное преобразование U(s) n переменных x1, ..., xn, причем так, что произведению элементов группы соответствует композиция преобразований). Развитие этой теории до Гильберта привело к двум основным теоремам, доказанным, однако, лишь в весьма специальных случаях.