Я возьму на себя смелость предположить, что Гильберту удалось сначала доказать вторую теорему. Соотношения образуют подмножество в кольце k[z₁, ..., z_m] всех многочленов от переменных z₁, ..., z_m с коэффициентами из данного поля k. Когда Гильберт нашёл своё простое доказательство, он не мог не заметить, что оно проходит для любого множества многочленов Σ. Тем самым он открыл одну из самых фундаментальных теорем алгебры, которая играет основополагающую роль в наших современных абстрактных методах и которая, утверждает, что

(А) Каждое подмножество Σ кольца многочленов k[z₁, ..., z_m] порождает идеал с конечным базисом.

Будет ли это плохой метафизикой, если добавить, что его доказательство оказалось таким простым потому, что предложение справедливо в столь общей форме? Это доказательство проводится при помощи последовательного присоединения переменных z_i и использования на каждом шаге следующего утверждения. Пусть кольцо r удовлетворяет условию (Р): каждый идеал в r обладает конечным базисом; тогда кольцо многочленов r[z] от одной переменной с коэффициентами в r также удовлетворяет условию (Р). После того как установлено это утверждение, мы получаем не только теорему (А), но и её арифметическое обобщение, предложенное Гильбертом, в котором поле k рациональных чисел заменяется на кольцо целых рациональных чисел.