Теорема (A) Гильберта служит краеугольным камнем оснований общей теории алгебраических многообразий. Предположим, далее, что k — поле комплексных чисел. Алгебраическое многообразие, по-видимому, естественно определять как подмножество n-мерного координатного пространства, состоящее из общих решений системы алгебраических уравнений f ₁ = 0, ..., f _h = 0 ( f _iIk_x). Согласно теореме (А) в равной степени можно рассматривать и бесконечные системы уравнений. Пусть Z( f ₁, ..., f _h) обозначает множество точек x = (x₁, ..., x_n), в которых все f _i, а значит и каждый многочлен из идеала F = { f ₁, ..., f _h}, одновременно обращаются в нуль. Любой элемент gI{ f ₁, ..., f _h} обращается в нуль на Z( f ₁, ..., f _h), однако обратное в общем случае неверно. Например, x₁ обращается в нуль там же, где и x₁³ тем не менее его нельзя представить в виде x₁³·q(x₁, ..., x_n). На языке алгебраической геометрии мы имеем здесь дело с простой плоскостью x₁ = 0 и тройной плоскостью, хотя множество точек в обоих случаях одно и то же. Таким образом, на самом деле под алгебраическим многообразием мы понимаем полиномиальный идеал, а не множество его нулей. Но, хотя мы и не можем надеяться, что каждый многочлен g, равный тождественно нулю на множестве Z( f ₁, ..., f _h) = Z(F), будет принадлежать идеалу F = { f ₁, ..., f _h}, мы можем рассчитывать, что по крайней мере некоторая его степень войдет в F. «Nullstellensatz» ² Гильберта утверждает, что так и будет если только k есть поле комплексных чисел. В случае произвольного поля коэффициентов k надо ещё потребовать, чтобы координаты рассматриваемых точек x принадлежали полю k или его некоторому алгебраическому расширению. Очевидно, что Nullstellensatz относится к основам самого понятия алгебраического многообразия ³.