Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом k_x = k[x₁, ..., x_m] многочленов от x₁, ..., x_m над данным полем k. Гильберт применяет свою теорему (А) к множеству J всех инвариантов J, для которых J(0, ..., 0) = 0 (оно образует подкольцо в k_x, а не идеал!), и находит таким образом базис i₁, ..., i_m идеала, порождённого множеством J. Каждый из инвариантов i = i_r может быть представлен в виде суммы i = i⁽¹⁾ + i⁽²⁾ + ... однородных форм степеней 1, 2, ..., и, так как эти слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем считать, что i_r — однородные формы степеней ?_r ? 1. После этого Гильберт утверждает, что многочлены i₁ ..., i_m составляют систему образующих кольца всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай инвариантов для некоторой конечной группы ?, состоящей из N элементов s (хотя этот случай общей проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим Гильбертом). Каждый инвариант J представим в виде