Светлый фон
M M Mh M F MhFh M F Fh M m

Все эти утверждения повисают в воздухе, пока мы не установим первую основную теорему. Последняя имеет совершенно особый характер, поскольку она относится к конечности базиса области целостности, а не идеала. Рассматривая инварианты, мы имеем дело с кольцом kx = k[x1, ..., xm] многочленов от x1, ..., xm над данным полем k. Гильберт применяет свою теорему (А) к множеству J всех инвариантов J, для которых J(0, ..., 0) = 0 (оно образует подкольцо в kx, а не идеал!), и находит таким образом базис i1, ..., im идеала, порождённого множеством J. Каждый из инвариантов i = ir может быть представлен в виде суммы i = i(1) + i(2) + ... однородных форм степеней 1, 2, ..., и, так как эти слагаемые сами представляют собой инварианты, мы можем считать, что ir — однородные формы степеней ?r ? 1. После этого Гильберт утверждает, что многочлены i1 ..., im составляют систему образующих кольца всех инвариантов. Чтобы проиллюстрировать идею доказательства этого утверждения, я рассмотрю случай инвариантов для некоторой конечной группы ?, состоящей из N элементов s (хотя этот случай общей проблемы инвариантов никогда не рассматривался самим Гильбертом). Каждый инвариант J представим в виде

первую основную теорему kx k x xm x xm k