Его первым важным собственным достижением явилась теория относительных полей Галуа K данного алгебраического числового поля k. В основном он интересовался связью группы Галуа ? поля K/k с разложением простых идеалов поля k в поле K. Для любого простого идеала B относительной степени f в поле K подстановки s из ? со свойством sB = B образуют группу разложения. Как обычно в теории Галуа, этой группе соответствует некоторое подполе поля K/k (поле разложения). Элемент из K принадлежит этому полю, если он инвариантен относительно всех подстановок из группы разложения. Множество подстановок t, переводящих каждое целое число A поля K в число tA, сравнимое с A по mod B, образует инвариантную подгруппу группы разложения индекса f, которая называется группой инерции. Соответствующее поле (поле инерции) зажато между полем разложения и полем K. Пусть p — простой идеал в k и B^l — точная степень B, делящая p. Я дам представление о характере результатов Гильберта, сформулировав следующий его центральный результат. В поле разложения идеала B разложение простого идеала p на простые множители содержит простой идеал p^* = B^e степени 1 (отсюда название такого поля!); при переходе от поля разложения к полю инерции идеал p^* остается простым, но его степень увеличивается до f; при переходе от поля инерции к полю K идеал p^* распадается на e простых сомножителей B одинаковой степени f. Для дальнейшего я добавлю следующее замечание. Если B входит в разложение p только в первой степени, т.е. e=1 (что всегда выполняется, если p не делит относительный дискриминант поля K/k), то группа инерции состоит только из единичного элемента. В этом случае теория конечных полей Галуа показывает, что группа разложения является циклической порядка f, а её элементы 1, s, s², ..., s ^f–1 однозначно определяются сравнениями