Сам Гильберт был рудокопом, который в течение следующих двух лет добыл бoльшую часть скрытой под землей руды. Руководящим принципом в это время для него служила аналогия с соответствующими проблемами для алгебраических функций от одной переменной, где доступны мощные методы топологии и абелевых интегралов, введённые Риманом (ср. его замечания в разделе 12 Парижских проблем). Доставляет большое удовольствие наблюдать, как шаг за шагом, поднимаясь от частного к общему, Гильберт вводит адекватные понятия и методы и делает важные заключения. Я упомяну о его выдающейся работе по относительным квадратичным полям, а также о его последней и самой важной работе Ueber die Theorie der relativ Abelschen Zahlkorper. Подробно разбирая примеры, ему удалось предсказать и сформулировать основные факты о так называемых полях классов. В то время как работы Гильберта по теории инвариантов служили завершением теории, его работы по алгебраическим числам были только началом. Бoльшая часть усилий таких теоретико-числовиков последних десятилетий, как Фуртвенглер, Такаги, Хассе, Артин, Шевалле, была направлена на доказательство результатов, предсказанных Гильбертом. Используя ?-функцию для доказательства существования некоторых вспомогательных простых идеалов, Гильберт существенно опирался на трансцендентные рассуждения. Последующее развитие постепенно избавилось от этих трансцендентных методов, показав, что, хотя те и являются подходящим и мощным инструментом для исследования распределения простых идеалов, они чужды для проблем теории полей классов. Пытаясь описать основные моменты последней, я не буду отказываться от прогресса и упрощения, достигнутого этим недавним развитием.

Разработанная Гильбертом теория норменных символов основана на следующих его собственных открытиях: (1) он осознал основную идею и определил символ норменного вычета для всех неисключительных простых идеалов; (2) он понял необходимость введения бесконечных простых точек; (3) он сформулировал общий закон взаимности в терминах норменного символа; (4) он увидел, что этот закон позволяет распространить определение норменного символа на исключительные простые идеалы, в которых и сосредоточен главный интерес. Существенный прогресс произошел после того, как Э. Артин позже (5) взял за значение символа вычета не корни из единицы, а элементы группы Галуа. В своём наброске проблем, поставленных Гильбертом, я воспользуюсь этой идеей Артина, а также упрощающим языком (6) p-адических чисел Гензеля и (7) иделей Шевалле ¹¹.