K

p

)

.

В 1893 году Deutsche Mathematiker-Vereinigung ⁸ обратилось к Гильберту и Минковскому с просьбой подготовить в течение двух лет обзор по теории чисел. Спустя некоторое время Минковский выбыл из участия в этом проекте. Монументальный обзор Гильберта Die Theorie der algebraischen Zahlkorper появился в Jahresbericht ⁹ в 1896 году (предисловие датировано апрелем 1897 года). Представленный Гильбертом труд в бесконечное число раз превосходил всё то, на что могло рассчитывать Общество. На самом деле его обзор представляет собой жемчужину математической литературы. Даже сегодня, спустя почти пятьдесят лет, изучение этой книги необходимо для любого, кто пожелает стать специалистом в теории алгебраических чисел. Заполнив пробелы большим количеством своих собственных исследований, Гильберт придал этой теории величественную унифицированную форму. Доказательства всех известных теорем были тщательно проанализированы, прежде чем он остановился на тех из них, «принципы которых поддаются обобщению и более всего пригодны для дальнейших исследований». Но прежде чем сделать такой выбор, нужно было провести сами эти «дальнейшие исследования»! Особое внимание было уделено обозначениям, благодаря чему впоследствии они стали общеупотребительными (включая, к ужасу американских издателей, готические буквы для идеалов). Ему удалось существенно упростить теорию Куммера, основанную на очень сложных вычислениях, а также ввести те понятия и доказать большинство из тех теорем, которые составляют сегодня основания общей теории относительных абелевых полей. Наиболее важными в ней являются понятие символа норменного вычета, центральная теорема об относительных циклических полях, знаменитая Satz ¹⁰ 90 (Собрание трудов, т. 1, стр. 149). Позвольте мне привести один абзац из предисловия, в котором он описывает общий характер теории чисел и, в частности, те темы, которые затрагиваются в его обзоре.

«Теория числовых полей представляет собой здание редкой красоты и гармонии. Самая же богатая идеями часть этого здания, как мне кажется, есть теория абелевых полей, возникшая из работы Куммера о высших законах взаимности и исследований Кронекера по комплексному умножению эллиптических функций. Глубокое проникновение в эту теорию, которое дают работы этих двух математиков, показывает в то же время, что несметные сокровища всё ещё лежат сокрытыми, маня богатым вознаграждением исследователя, знающего им цену и с любовью применяющего своё искусство, чтобы овладеть ими».