Но как можно убедиться в том, что «дедуктивная игра» никогда не приведет к противоречию? Не придется ли нам это доказывать с помощью дедукции из аксиом, т.е. тем же математическим методом, справедливость которого мы подвергаем сомнению? Ясно, что это привело бы к регрессу ad infinitum ²³. Должно быть, Гильберту, как поборнику аксиоматического метода, было трудно признать, что вопрос о непротиворечивости приходилось решать с помощью интуитивного рассуждения, основанного не на аксиомах, а на очевидности. Однако, в конце концов, неудивительно, что окончательное слово должно оставаться за всевидящим интеллектом. Уже при сообщении правил игры нам приходится рассчитывать на него. Игра происходит без слов, но правила должны быть сказаны, а любое суждение об этой игре, в частности о её непротиворечивости, должно быть высказано словами. Кстати, описывая интуитивную основу для своей Beweistheorie ²⁴, Гильберт демонстрирует выдающееся мастерство в этом, увы, столь неопределенном средстве сообщения, как язык. Относительно того, что он считает очевидным в своих «метаматематических» рассуждениях, Гильберт более авторитетен, чем сам папа римский, более требователен, чем Кронекер или Брауэр. Однако ничего нельзя поделать с тем, что наше рассуждение о гипотетической последовательности формул, оканчивающейся формулой 0?0, ведётся в гипотетической общности и использует очевидность такого сорта, которую формалист с презрением окрестил бы как приложение принципа полной индукции. Элементарная арифметика может быть основана на таких интуитивных рассуждениях, как это описано самим Гильбертом. Однако для введения бесконечности в полной мере, в которой она встречается в высшей математике, нам требуется формальный аппарат переменных и «кванторов». Тем самым, Гильберт предпочитает провести четкую границу: он становится строгим формалистом в математике и строгим интуиционистом в метаматематике.