Подход к основаниям геометрии, совершенно отличный от того, который был изложен в его книге, был предложен Гильбертом в одной работе, являющейся одним из самых ранних документов теоретико-множественной топологии. С точки зрения механики главной задачей для геометрии является возможность описания движения твердого тела. Такова была точка зрения Гельмгольца, охарактеризовавшего группы движения евклидова пространства с помощью нескольких простых аксиом. Эту проблему продолжал разрабатывать и Софус Ли в связи со своей общей теорией непрерывных групп. Теория Ли зависит от некоторых предположений дифференцируемости; в одной из своих Парижских проблем Гильберт предложил избавиться от них. В упомянутой работе ему это удалось в случае проблемы Гельмгольца для плоскости. Доказательство трудное и утомительное; вполне естественно, что теперь условие непрерывности кладется в основу определения и не играет той решающей роли, как это было в его «Основаниях». Другие авторы, Р. Л. Мур, Н. Дж. Леннес, В. Зюс, Б. фон Керекьярто, значительно разработали проблему, следуя этим топологическим соображениям. Быть может, будет интересно добавить немного личных воспоминаний. Гильберт определяет двумерное многообразие с помощью окрестностей, требуя выделения некоторого класса «допустимых» взаимно однозначных отображений каждой окрестности на некоторую жорданову область в декартовой плоскости, связанных друг с другом непрерывными преобразованиями. Когда в 1912 году я читал в Гёттингене курс по римановым поверхностям, я обратился к работе Гильберта и заметил, что сами эти окрестности могут служить определением этого класса отображений. Окончательное определение было дано затем Ф. Хаусдорфом; аксиомы Хаусдорфа определили лицо топологии ¹⁹. (Однако, когда нам приходится определять дифференцируемое многообразие, мы до сего дня придерживаемся косвенного определения Гильберта; ср. О.Веблен и А.Н.Уайтхед, Основания дифференциальной геометрии, М., ИЛ, 1949.)

Фундаментальный вопрос об абсолютном доказательстве непротиворечивости аксиом, который должен был лечь в основу всего математического анализа и даже канторовской теории множеств во всей её безумной общности, постоянно находился в воображении Гильберта, о чем свидетельствует его доклад на международном конгрессе в Гейдельберге 1904 году. Из него видно, что он уже был на этом пути, хотя и далеко от цели. Затем наступило время, когда его всецело захватили интегральные уравнения, а позже физика. Спустя некоторое время, в 1917 году, послышался его громкий голос о старой проблеме в цюрихской речи Axiomatisches Denken ²⁰. К тому времени трудности, связанные с основаниями математики, достигли критического состояния и положение дел взывало о помощи. Под влиянием неотразимых парадоксов в теории множеств Дедекинд и Фреге отказались от своей работы по природе чисел и арифметических утверждений: Бертран Рассел указал на иерархию типов, которые, не будучи «ограничены» грубой силой, подрывали арифметическую теорию континуума. Наконец, Л. Э. Я. Брауэр своим интуиционизмом открыл нам глаза и заставил увидеть, насколько общепринятая математика идет дальше таких утверждений, которые могут претендовать на реальный смысл и истинность, основанную на очевидности. Мне жаль, что в своей оппозиции Брауэру Гильберт никогда открыто не признал того большого долга, который он, равно как и другие математики, имел перед Брауэром за это открытие.