Остаётся отметить особенно простое доказательство трансцендентности чисел e и ?, которым Гильберт открыл серию своих работ по арифметике, и работу 1909 года с доказательством гипотезы Варинга столетней давности. Последнюю работу я бы отнёс к числу его самых оригинальных, но мы не будем на ней более подробно останавливаться, так как десять лет спустя Харди и Литлвуд нашли другой подход, дающий асимптотические формулы для числа искомых представлений. «Круговой метод» Харди—Литлвуда породил в последнее время значительную литературу на эту и смежную с ней тему ¹⁵.

АКСИОМАТИКА

АКСИОМАТИКА

Трудно придумать бoльшую пропасть, чем та, которая отделяла последнюю работу Гильберта по теории числовых полей от его классической книги Основания геометрии, опубликованной в 1899 году. Единственным предвестником последней служила одна заметка 1895 года о прямой как кратчайшей линии. Однако О. Блюменталь сообщает, что уже в 1891 году Гильберт, обсуждая работу Г. Винера о роли теорем Дезарга и Паппа, о которой тот докладывал на одном из математических собраний, сделал замечание, в двух словах передающее суть аксиоматического метода: «Следует добиться того, чтобы во всех геометрических утверждениях слова точка, прямая, плоскость можно было заменить словами стол, стул, кружка».

Греки представляли себе геометрию как дедуктивную науку, которая занимается чисто логическими выводами из небольшого количества заранее установленных аксиом. Этой программы придерживались как Евклид, так и Гильберт. Однако список аксиом Евклида был далеко не полным, у Гильберта же он полон и его рассуждения не содержат логических пробелов. Евклид пытался дать описательное определение основных пространственных объектов и соотношений, участвующих в его аксиомах; Гильберт же отказался от такого подхода. Всё, что нам надо знать об этих основных понятиях, содержится в аксиомах. Аксиомы, каковы они есть, являются, по сути дела, их неявными (и по необходимости неполными) определениями. Евклид считал аксиомы очевидными, его интересовало реальное пространство физического мира. Однако в дедуктивной системе геометрии очевидность и даже истинность аксиом несущественны; они служат лишь предположениями, из которых выводятся логические следствия. В самом деле, существует много различных материальных интерпретаций основных понятий, для которых аксиомы становятся верными. Например, аксиомы n-мерной евклидовой векторной геометрии соблюдаются, если брать в качестве вектора распределение постоянного тока в электрической цепи, состоящей из n проводников, соединенных в некоторых точках разветвления, и принять в качестве квадрата длины вектора джоулево тепло, выделяемое током за единицу времени. При построении геометрии на аксиоматической основе стремятся к максимальной экономии, для чего проясняют роль различных групп аксиом. Взятые в своём естественном порядке, это аксиомы инциденции, порядка, конгруэнтности, параллельности и непрерывности. Например, если это возможно, теорию геометрического подобия или площадей многоугольников строят без аксиом непрерывности.