Замечание. Египетский треугольник и обратная теорема Пифагора. Теорема Пифагора утверждает, что в любом прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (понятно, что надо бы говорить о длинах катетов и гипотенузы, но слово «длина» для краткости часто опускается). Всякая тройка целых чисел, выражающих длины сторон какого-либо прямоугольного треугольника, называется пифагоровой. Пифагоровых троек бесконечно много, из них тройка (3, 4, 5) имеет наименьшие члены, а прямоугольный треугольник с такими длинами сторон называется египетским. Происхождение названия таково. В Древнем Египте этот треугольник использовался в строительстве для построения прямого угла. Верёвка, разбитая на 12 равных частей, растягивалась в трёх точках так, чтобы эти точки стали вершинами треугольника со сторонами длиною в 3, 4 и 5 частей. Треугольник оказывался прямоугольным. Тем не менее само существование египетского треугольника требует доказательства. Построить треугольник с длинами сторон 3, 4, 5 нетрудно, но вот почему он будет прямоугольным? Нередко можно услышать ответ: «По теореме Пифагора, потому что 3² + 4² = 5²». Ответ неверен. Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике выполняется известное соотношение между длинами сторон. Но она не утверждает, что, если это соотношение выполняется, треугольник прямоуголен. Этот факт составляет содержание другой теоремы, обратной к теореме Пифагора и называемой для краткости обратной теоремой Пифагора. Обратная теорема Пифагора гласит: если в каком-то треугольнике сумма квадратов двух сторон равна квадрату третьей, то треугольник прямоуголен и против большей стороны лежит прямой угол. Её доказательство чрезвычайно просто. Пусть длины сторон треугольника Δ суть a, b, c, причём a² + b² = c². На сторонах прямого угла отложим от его вершины O отрезки OX и OY, равные, соответственно, a и b. Возникает прямоугольный треугольник OXY, гипотенуза XY которого имеет по теореме Пифагора длину  т. е. c. Таким образом, треугольники Δ и OXY имеют соответственно равные стороны и, следовательно, равны. Значит, треугольник Δ прямоугольный и против стороны с длиной c лежит прямой угол.