Замечание. Выпуклые фигуры. Напомним, что геометрическая фигура называется выпуклой, если она обладает следующим свойством (α): для любых двух точек фигуры отрезок, соединяющий эти точки, находится в пределах этой фигуры. В качестве полезного упражнения рекомендуем читателю доказать, что для любой совокупности выпуклых фигур фигура, образованная их пересечением, непременно выпукла. В частности, если прямая пересекает выпуклый многоугольник, то она разбивает его на два выпуклых многоугольника. В самом деле, каждая из частей разбиения представляет собою пересечение исходного многоугольника с одной из тех двух полуплоскостей, на которые прямая разрезает плоскость, а всякая полуплоскость выпукла.

Пример 20. Важное свойство выпуклого многоугольника. Для того частного случая, когда геометрическая фигура является многоугольником, можно предложить и другое определение выпуклости. Именно можно назвать многоугольник выпуклым, если он обладает свойством (β): какую ни взять сторону многоугольника, многоугольник целиком лежит по одну сторону от неё, т. е. от прямой, служащей её продолжением. Эти определения равносильны: (1) из (α) вытекает (β); (2) из (β) вытекает (α). Утверждения (1) и (2) легко доказываются от противного. Доказательство для (1) сейчас изложим; доказать (2) предоставляем читателю. Итак, предположим, что в многоугольнике, обладающем свойством (α), нашлись две такие его точки P и Q, которые лежат по разные стороны от некоторой его стороны AB. Поскольку все точки отрезка AB принадлежат многоугольнику, ему будут принадлежать и все точки треугольников PAB и QAB. Таким образом, отрезок AB является общей стороной треугольников PAB и QAB, расположенных хотя и по разные стороны от этого отрезка, но целиком в пределах рассматриваемого многоугольника. Очевидно, что такого не может быть, коль скоро AB является одной из сторон этого многоугольника.

Пример 20. Важное свойство выпуклого многоугольника. Для того частного случая, когда геометрическая фигура является многоугольником, можно предложить и другое определение выпуклости. Именно можно назвать многоугольник выпуклым, если он обладает свойством (β): какую ни взять сторону многоугольника, многоугольник целиком лежит по одну сторону от неё, т. е. от прямой, служащей её продолжением.