Пример 42. Доказать, что объединение счётного множества A с конечным множеством B является счётным множеством. Пусть A = {a1, a2, a3, …, an, …} и B = {b1, b2, b3, …, bn}. Тогда их объединение A ∪ B можно расположить в последовательность {b1, b2, b3, …, bn, a1, a2, a3, … an, …}. Элемент a1 получит в этой последовательности номер (n + 1). Следовательно, объединение счётного и конечного множеств счётно. Пример 43. Доказать, что объединение счётного множества A со счётным множеством B является счётным множеством. Пусть A = {a1, a2, a3, …, an, …} и B = {b1, b2, b3, …, bn, …}. Тогда их объединение A ∪ B можно расположить в последовательность {a1, b1, a2, b2, a3, b3, …, an, bn, …}. Значит, объединение двух счётных множеств счётно. Пример 44. Доказать, что всякое бесконечное множество M содержит счётное подмножество. Так как множество M бесконечно, в нём имеется какой-то элемент, который мы обозначим a1. Бесконечное множество не может исчерпываться этим единственным элементом, поэтому в M присутствует ещё какой-то, отличный от a1 элемент, который мы обозначим a2. Но и этими двумя элементами не исчерпывается бесконечное множество, поэтому в нём найдётся элемент a3, отличающийся как от a1, так и от a2. Продолжая процесс, мы выделим из множества M счётное подмножество {a1, a2, a3, …}. Итак, всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.

Пример 42. Доказать, что объединение счётного множества A с конечным множеством B является счётным множеством.

Пусть A = {a₁, a₂, a₃, …, a_n, …} и B = {b₁, b₂, b₃, …, b_n}. Тогда их объединение A ∪ B можно расположить в последовательность {b₁, b₂, b₃, …, b_n, a₁, a₂, a₃, … a_n, …}. Элемент a₁ получит в этой последовательности номер (n + 1). Следовательно, объединение счётного и конечного множеств счётно.