Пример 44. Доказать, что всякое бесконечное множество M содержит счётное подмножество.

Так как множество M бесконечно, в нём имеется какой-то элемент, который мы обозначим a₁. Бесконечное множество не может исчерпываться этим единственным элементом, поэтому в M присутствует ещё какой-то, отличный от a₁ элемент, который мы обозначим a₂. Но и этими двумя элементами не исчерпывается бесконечное множество, поэтому в нём найдётся элемент a₃, отличающийся как от a₁, так и от a₂. Продолжая процесс, мы выделим из множества M счётное подмножество {a₁, a₂, a₃, …}. Итак, всякое бесконечное множество содержит счётное подмножество.