В § 8 мы уже встретились с примером бесконечного множества, не являющегося счётным. Это было множество Ω всех бесконечных двоичных последовательностей. Множество называется несчётным, если оно бесконечно и не является счётным. Можно было бы сказать и так: множество называется несчётным, если оно не является разве что счётным. Сам факт существования несчётных множеств весьма принципиален, поскольку показывает, что бывают бесконечные множества, количество элементов в которых отлично от количества элементов натурального ряда. Установление данного факта в XIX в. Георгом Кантором является одним из крупнейших открытий в математике.

В этом параграфе будет показано, что некоторые из хорошо известных множеств несчётны. Среди таких множеств – прямая (понимаемая как множество её точек), луч, отрезок и интервал. Напомним, что интервал]a; b[состоит из всех точек, расположенных между точками a и b, тогда как отрезку [a; b], помимо указанных точек, принадлежат ещё и сами точки a и b.