Но прежде всего следует сказать об аксиоме вложенных отрезков. Список аксиом геометрии включает одну или несколько (в зависимости от выбранной версии списка) так называемых аксиом непрерывности, которые обеспечивают непрерывность прямой. Понятно, что данная фраза требует разъяснения. Дадим его в форме иллюстрации.

Допустим, мы должны воткнуть иглу циркуля в точку прямой, заданным раствором описать окружность и найти точку пересечения этой окружности с исходной прямой. Теперь вообразим, что такой точки мы не находим, потому что там, где мы рассчитываем её обнаружить, в прямой дырка. «Но это невозможно!» – с возмущением воскликнет читатель. Однако подобная невозможность как раз и обеспечивается аксиомами непрерывности. Представим себе, что прямая содержала бы только точки с рациональными координатами, а нужная нам точка имела бы координату √2 и потому отсутствовала бы на прямой. Аксиомы непрерывности и гарантируют присутствие на прямой точек с любыми действительными координатами и тем самым возможность отождествления точек прямой с действительными числами, координатами этих точек. Говорят, что точки прямой (или соответствующие им действительные числа) образуют континуум. Латинское прилагательное continuus (это в мужском роде, а в среднем – continuum) как раз и означает 'непрерывный, сплошной, связный, продолжающийся без перерыва, не имеющий ни скачков, ни пробелов'. Можно говорить о континууме точек на интервале или на отрезке, но говорить, скажем, о континууме рациональных точек нельзя.

Известны несколько вариантов аксиомы (или аксиом) непрерывности, из которых мы выберем такой:

Пусть дана бесконечная последовательность вложенных друг в друга отрезков:

[a1; b1] ⊃ [a2; b2] ⊃ [a3; b3] ⊃ … ⊃ [an; bn] ⊃ ….

[a₁; b₁] ⊃ [a₂; b₂] ⊃ [a₃; b₃] ⊃ … ⊃ [a_n; b_n] ⊃ ….