Пример 50. Доказать, что всякий интервал равномощен прямой.

Формула y = tg x устанавливает взаимно однозначное соответствие между интервалом] –π/2; + π/2[и прямой. А все интервалы равномощны друг другу. Следовательно, всякий интервал равномощен прямой.

Пример 51. Доказать, что интервал]a; b[и отрезок [a; b] равномощны.

Записываем [a; b] =]a; b[∪ {a; b} и вспоминаем результат примера 46.

Континуальность лучей просим читателя рассмотреть самостоятельно.

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа? Можно предложить прямое доказательство существования иррациональных чисел. Например, указать число √2 и доказать, что оно иррационально. Выше были приведены два таких доказательства: арифметическое (в примере 11) и геометрическое (в примере 19). Но можно предложить и косвенное доказательство. Множество всех рациональных чисел счётно, а множество всех действительных чисел несчётно; значит, бывают и числа, не являющиеся рациональными, т. е. иррациональные. Конечно, надо ещё доказать счётность множества рациональных чисел. Счётность множества рациональных чисел вытекает из того, что каждому рациональному числу можно дать имя в виде слова в едином для всех рациональных чисел алфавите. Изъяснимся подробнее. В качестве единого алфавита выбираем двенадцатибуквенный алфавит {–; /; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. С каждым рациональным числом взаимно однозначно сопоставляем несократимую дробь, а дробь записываем в виде m/n, если она положительна, и в виде – m/n, если она отрицательна; здесь m и n – десятичные записи натуральных чисел. Эту запись m/n или – m/n объявляем именем соответствующего рационального числа. Множество данных имён счётно как подмножество счётного множества всех слов в данном алфавите, а потому счётно и множество всех рациональных чисел.

Пример 52. Как доказать, что существуют иррациональные числа?