Существует точка, принадлежащая всем этим отрезкам.

Это и есть аксиома о вложенных отрезках. (Подумайте, почему в формулировке аксиомы нельзя заменить отрезки интервалами.)

Пример 47. Доказать, что множество точек прямой несчётно. Доказательство ведём от противного. Допустим, что это множество счётно и перенумеруем его: x1, x2, x3, …, xn, …. Образуем последовательность вложенных отрезков по следующему принципу: отрезок [ak; bk] не должен содержать ни одну из точек x1, x2, x3, …, xk. Тогда не найдётся ни одной точки xn, которая принадлежала бы всем отрезкам, что нарушает аксиому. Итак, множество точек прямой несчётно.

Пример 47. Доказать, что множество точек прямой несчётно.

Доказательство ведём от противного. Допустим, что это множество счётно и перенумеруем его: x₁, x₂, x₃, …, x_n, …. Образуем последовательность вложенных отрезков по следующему принципу: отрезок [a_k; b_k] не должен содержать ни одну из точек x₁, x₂, x₃, …, x_k. Тогда не найдётся ни одной точки xn, которая принадлежала бы всем отрезкам, что нарушает аксиому. Итак, множество точек прямой несчётно.