§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

§ 11. Представление о математических доказательствах меняется со временем

Великий французский математик Анри Пуанкаре писал в 1908 г.:

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Если мы читаем книгу, написанную 50 лет назад, то рассуждения, которые мы в ней находим, кажутся нам большей частью лишёнными логической строгости.

Для иллюстрации приведём рассуждение из книги «Введение в анализ бесконечных». Правда, она была опубликована в 1748 г., т. е. не за 50, а за 160 лет до высказывания Пуанкаре, зато сам пример очень нагляден. В названной книге встречаются такие странные, по нынешним меркам, утверждения: «e^x = (1 + x/i)ⁱ, где i означает бесконечно большое число»; «так как дуга 2kπ/i бесконечно мала, то cos(2k/i) π = 1 – (2k²/i²)π²»; «член x²/i² может быть опущен без опасения, потому что даже после умножения на i он останется бесконечно малым». Скажи студент такое на экзамене в наши дни, он получил бы двойку. Однако автор книги не кто иной, как великий математик Эйлер, а взятые нами в кавычки цитаты составляют часть доказательства одной из знаменитых формул Эйлера, а именно формулы для разложения синуса в бесконечное произведение: