Первая попытка создать систему аксиом для какой-нибудь теории была предпринята Евклидом в III в. до н. э. Система аксиом из его «Начал» оставалась единственной системой аксиом геометрии вплоть до конца XIX в., когда появились новые системы, отвечающие современным требованиям. Вот как Евклид определяет, что такое точка и что такое прямая: «Точка есть то, что не имеет частей», «Прямая линия есть та, которая равно расположена к точкам на ней». С современных позиций эти определения непонятны и не могут быть использованы в доказательствах.

А как же определяются точка и прямая в современных аксиоматических системах? Ответ может удивить неискушённого читателя (искушённого читателя ничто не может удивить). Эти понятия не определяются никак. Не определяется и значение выражений «точка лежит на прямой», «прямая проходит через точку». Если вдуматься, то чего-то подобного, т. е. предъявления основных понятий без определения, и следовало ожидать, ведь всё определить невозможно: одно определяется через другое, другое – через третье, и где-то приходится остановиться. Уж лучше сделать такую остановку честно и открыто. Спрашивается: а как же в таком случае можно использовать эти понятия в доказательствах? Вот тут на помощь и приходят аксиомы.

В аксиомах вместо определений основных понятий формулируются их главные исходные свойства. На эти свойства и опираются доказательства. Поясним сказанное на примере. Среди основных понятий геометрии присутствуют такие: 'точка', 'прямая', 'лежать на', 'лежать между'. Что такое точки и прямые, не разъясняется, а говорится лишь, что бывают такие объекты: одни называются точками, другие – прямыми. А про лежать на говорится, что это некоторое отношение между точками и прямыми. Это означает следующее: если взять произвольную точку и произвольную прямую, то осмысленно спросить, лежит ли эта точка на этой прямой; точка либо лежит на прямой, либо нет. А вот спрашивать, скажем, лежит ли прямая на прямой, бессмысленно: отношение 'лежать на' для пары прямых не определено, как не определено оно и для пары точек, и для пары (прямая, точка). Лежать между – это некоторое трёхместное отношение между точками; сказанное означает, что если даны три точки A, B, C, то точка B либо лежит между точками A и C, либо нет. Природа предметов 'точка' и 'прямая' и отношений 'лежать на' и 'лежать между' никак не раскрывается. Вместо этого в аксиомах формулируются основные свойства этих объектов и отношений и основные связи между ними. Вот как выглядят некоторые из аксиом: