Покажем на примере, как на основе аксиом совершаются доказательства. Докажем, опираясь на выписанные пять аксиом, такую теорему: на каждой прямой лежат по меньшей мере три точки.

Вот доказательство. Итак, пусть p – прямая. Надо обнаружить на ней три различные точки. По аксиоме 1 на ней лежат какие-то две различные точки; обозначим их A и B. По аксиоме 5 находим такую точку C, что B лежит между A и C. Согласно аксиоме 3, все они различны, а согласно аксиоме 4, все они лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую буквой q. Точки A и B лежат на прямой p и в то же время лежат на прямой q. Но в силу аксиомы 2 две различные точки не могут лежать на двух различных прямых; следовательно, q совпадает с p. Поскольку через q была обозначена та прямая, на которой лежат все три точки A, B и C, а q совпадает с p, то все эти точки лежат на p. Вот мы и нашли на p три различные точки.