I. Если х' = у', то x = y.

II. Не существует такого x, что х' = 0.

Требуется доказать утверждение 0'''' ≠ 0''.

Доказываем от противного. Предположим, что 0'''' = 0''.

Тогда в силу первой аксиомы 0''' = 0'. В силу той же первой аксиомы 0'' = 0. Но это противоречит второй аксиоме, потому что получается, что 0 есть результат применения операции «'» к объекту 0'. Точно так же доказывается различие любых двух объектов вида 0''…', имеющих в своей записи различное количество штрихов. Поэтому выражения 0, 0', 0'', … часто используются в качестве обозначений натуральных чисел (включая ноль). Если принять эти обозначения, то видно, что только что была доказана формула 4 ≠ 2.

Заметим, что доказательства в обоих примерах понимались в соответствии с разъяснениями, предложенными в начальном разделе данного очерка, как убедительные рассуждения. Специфика состояла в том, что мы не знали, о каких сущностях идёт речь. Мы не знали, что такое точка, прямая, отношение 'лежать на' и 'лежать между' в первом примере. Во втором примере мы не знали, ни какие объекты образуют множество N, ни который из них выделен, ни в чём состоит операция «'», ставящая в соответствие каждому объекту x объект х'. Мы знали лишь те свойства этих таинственных сущностей, которые были перечислены в аксиомах, и именно на эти свойства, и только на них, опирались в рассуждениях, образующих доказательства. Таким образом, сами наши доказательства были неформальными, психологическими. Поэтому тот вариант аксиоматического метода, который был проиллюстрирован на двух примерах, принято называть неформальным аксиоматическим методом.