Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует. Замечание. Пусть А – какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А верно, то А неверно. Однако – и в этом содержание леммы – это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют». Доказательство. Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняются ли неравенства a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 и равенство bа + са = dа. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений – размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, возможна в принципе. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени. Лемма 2. Если нельзя опровергнуть теорему Ферма, то теорема Ферма верна. Замечание. Не видно причин, почему это должно быть верно для любой теоремы. Доказательство. Лемма 2 есть просто переформулированная лемма 1. Ведь «опровергнуть теорему Ферма» – значит «доказать, что четвёрки Ферма существуют», а «теорема Ферма верна» – значит «четвёрки Ферма не существуют».

Лемма 1. Если нельзя доказать, что четвёрки Ферма существуют, то их не существует.

Замечание. Пусть А – какое-либо утверждение. Нет никаких причин считать, что если нельзя доказать, что А верно, то А неверно. Однако – и в этом содержание леммы – это так, коль скоро А есть утверждение «четвёрки Ферма существуют».

Доказательство. Поведём доказательство от противного. В самом деле, предположим, что четвёрки Ферма существуют. Выпишем какую-либо из них. Это будет четвёрка натуральных чисел a, b, с, d. Проверим, что это действительно четвёрка Ферма, т. е. проверим, выполняются ли неравенства a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 и равенство b^а + с^а = d^а. Предъявление четвёрки a > 2, b > 0, с > 0, d > 0 вкупе с указанной проверкой образует доказательство существования четвёрки Ферма. Разумеется, если четвёрка состоит из гигантских чисел, то время, потребное на проверку, может превосходить длительность жизни человека, а то и всего человечества (а объём вычислений – размеры видимой Вселенной). Однако мы от этого отвлекаемся и считаем, что даже и в этом случае проверка того, что предъявленная четвёрка является четвёркой Ферма, возможна в принципе. Философ скажет, что здесь мы используем так называемую абстракцию потенциальной осуществимости, как раз и состоящую в отвлечении от ограниченности наших реальных возможностей в пространстве и времени.