Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е. попросту доказательство теоремы Ферма.

Следствие леммы 2. Если существует доказательство того, что нельзя опровергнуть теорему Ферма, то существует и доказательство того, что теорема Ферма верна, т. е. попросту доказательство теоремы Ферма.

Ввиду важности этого следствия ещё раз сформулируем его: если существует доказательство того, что теорему Ферма нельзя опровергнуть, то теорему Ферма можно доказать. Итак, если верно (б), то теорему Ферма можно доказать, что и представляет собою обещанное отрицание утверждения (a₁).

Полученное противоречие и завершает наше рассуждение о том, что (a₁) и (б), а тем более (а) и (б), несовместимы.

Возникает следующий естественный вопрос: а почему проведённое рассуждение нельзя повторить для континуум-гипотезы, о которой шла речь в конце нашего предыдущего, четвёртого, размышления? В самом деле, гипотеза (теорема) Ферма утверждает, что нет четвёрок Ферма, а континуум-гипотеза – что нет множеств мощности, промежуточной между и Давайте заменим четвёрку Ферма на множество промежуточной мощности, теорему Ферма – на континуум-гипотезу и повторим только что проведённое рассуждение. Мы должны, обязаны где-то споткнуться, ведь утверждения (а') и (б'), получаемые из (а) и (б) заменой слов «теорема Ферма» на слово «континуум-гипотеза», оба верны. Где же мы споткнёмся? А вот где: в доказательстве леммы 1 (разумеется, не в первоначальной формулировке, а в той, где слова «четвёрки Ферма» заменены словами «множества промежуточной мощности»). Приведённое выше доказательство леммы 1 основывалось на следующей идее: можно фактически предъявить четвёрку чисел а, b, с, d и удостовериться, что она образует четвёрку Ферма. Но что значит «предъявить множество»? Могут возразить, что и мы, собственно, предъявляем не числа как количественные категории – их предъявить невозможно, можно только написать их имена (например, в виде ноля со штрихами или в виде десятичной записи). Но дело в том, что каждое натуральное число имеет имя, чего нельзя сказать о множествах: множеств больше, чем имён (если понимать последние как конечные комбинации знаков какого-нибудь алфавита). Но даже если ограничиться множествами, имеющими имена, и предъявлять вместо множеств эти имена, всё равно остаётся главная трудность: как проверить, что предъявленное множество имеет промежуточную мощность? Проверить, что четвёрка чисел есть четвёрка Ферма, в принципе (если отвлечься от количества шагов и необходимого пространства), несложно: надо подставить числа в уравнение и сравнить левую и правую части. Способа же, который позволил бы по предъявленному множеству определить его мощность или хотя бы определить, будет ли эта мощность удовлетворять неравенству не существует.