Подчеркнём ещё, что формальными доказательствами могут обладать (или не обладать) не сами содержательно понимаемые утверждения, а лишь их записи (т. е. опять-таки слова) в каком-либо точно заданном логико-математическом языке.

Определение понятия формального доказательства – быть может, лучше сказать «определение множества формальных доказательств» – в широких пределах (обусловленных указанными выше общими ограничительными свойствами множества формальных доказательств) произвольно. Здесь имеется в виду тот «юридический» произвол, который отличает математические определения вообще. Мы имеем «юридическое» право, например, произвольно определить класс функций и назвать их «как хотим», например непрерывными.

Другое дело, что всякое разумное математическое определение обычно претендует на то, чтобы соответствовать некоторым интуитивным представлениям, отражать их. Законность определения ещё не означает его разумности. Так, математическое понятие непрерывной кривой отражает (с той или иной точностью) наши интуитивные, содержательные представления о траектории движущейся точки. Аналогично понятие формального доказательства отражает интуитивные представления о содержательном доказательстве.

Можно сказать, что понятие формального доказательства является математической моделью понятия доказательства – в том же смысле, в каком понятие непрерывной кривой является математической моделью понятия траектории.

Остаётся выяснить, что же такое доказательство – не формальное доказательство, а просто доказательство. Хотя, как мы отмечаем в самом начале настоящего очерка, неправильно полагать, что в математике всё доказывается, нет сомнений, что понятие доказательства играет в математике центральную роль. «Со времён греков говорить "математика" – значит говорить "доказательство"» – так начинает свои «Начала математики» Николя Бурбаки [6, с. 231]. Вместе с тем мы отмечали, что понятие доказательства не принадлежит математике (математике принадлежит лишь его математическая модель – формальное доказательство). Оно принадлежит логике, лингвистике и больше всего – психологии.

Итак, термин «доказательство» – один из самых главных в математике – не имеет точного определения. А приблизительное его определение таково: доказательство – это убедительное рассуждение, убеждающее нас настолько, что с его помощью мы способны убеждать других [12, с. 8]. Пожалуй, всё-таки следует уточнить, что под словом «нас» в этом определении понимаются те, кто слушает или читает доказательство, а не те, кто его воспроизводит, т. е. произносит или пишет.