Математические тексты Древнего Египта содержат готовые правила без какого бы то ни было их обоснования. Говоря об отсутствии обоснования, мы имеем здесь в виду современное понимание слова «обоснование». С точки зрения древнего египтянина, написанное на папирусе было полностью обосновано тем, что исходило из авторитетного источника и было запечатлено в авторитетной форме записи на папирусе. Факт занесения на папирус, запечатления на нём и был сам по себе доказательством. Действительно, этого было достаточно для того, чтобы с его помощью убеждать других. Ряд правил для вычисления площадей треугольников и четырёхугольников не получил в наши дни однозначного толкования; идут споры, как надо понимать входящие в них термины [4, глава IV, § 2, а]. В зависимости от толкования эти формулы должны восприниматься либо как точные, либо как приближённые, либо как вообще неверные. Говоря о неверной формуле, мы имеем в виду выражение площади треугольника через полупроизведение основания на боковую сторону[166]. Многие исследователи считают, впрочем, что соответствующий древнеегипетский термин надо трактовать не как боковую сторону, а как высоту (и тогда формула из папируса оказывается верной). Однако, даже если бы этот термин означал в действительности не высоту, а боковую сторону, соответствующую (неверную, с нашей современной точки зрения) формулу следует считать доказанной в древнеегипетском понимании, ведь эта формула убедительно обоснована тем, что она (конечно, записанная не с помощью математических символов, а посредством слов) содержится в авторитетном документе.

Иначе обстояло дело в Древней Греции. Сравнительно (с Египтом) небольшие государственные образования с народными собраниями. В народных собраниях выступают ораторы, не являющиеся носителями априорного авторитета. Они должны убедить слушателей посредством рассуждения. Формулирование правильных рассуждений становится повседневной и актуальной потребностью. Отсюда – зарождение логики у Сократа и окончательное оформление её в виде науки у Аристотеля. Отсюда же – приближающиеся к современным представления о доказательстве, начало дедуктивного метода в математике. Основой математической убедительности становится рассуждение. Возникает понятие об основах правильных рассуждений – аксиомах и правилах логического вывода. Убедительно (и следовательно, доказуемо) то, что может быть получено «законным рассуждением» из отправных утверждений, признаваемых справедливыми. (Если задуматься над тем, какие дисциплины опираются на понятие доказательства, то окажется, что таких дисциплин две: математика и юриспруденция. По-видимому, местом их рождения следует признать Древнюю Грецию: именно там возникла культура убеждения путём рассуждения, в частности – путём прения сторон. В этом смысле математику можно назвать младшей сестрой юриспруденции.)