Энергия определяет эволюцию

Энергия определяет эволюцию

Уравнение Шрёдингера оставляет за энергией «руководство» эволюцией во времени. Эволюционирует же, собственно говоря, волновая функция. Но, чтобы «руководить», энергия должна превратиться в инструмент воздействия на волновые функции. В этом новом качестве энергия получает специальное название – гамильтониан (в честь, разумеется, ничего не подозревавшего Гамильтона). Не сильно кривя душой, можно сказать так:

Гамильтониан говорит волновой функции, как ей изменяться во времени. Это тизер уравнения Шрёдингера

Гамильтониан говорит волновой функции, как ей изменяться во времени.

Подробности (еще раз спасибо Уилеру за идею высказываться выразительно, но неясно) скрыты, разумеется, в слове «говорит» – в том, что именно гамильтониан делает с волновыми функциями. Он представляет собой предписание, согласно которому из любой волновой функции производится какая-то другая.

Целый класс предписаний по изменению волновых функций и составляет верхний (по крайней мере на этой прогулке) уровень лестницы абстракций, и мы очень скоро сможем оглядеть весь пейзаж с небывалой высоты. От всех предписаний по превращению одних волновых функций в другие требуется соблюдение одного фундаментального условия, по существу представляющего собой (снова!) правило раскрытии скобок: применить данное предписание к сумме a₁ · |q₁⟩ + a₂ · |q₂⟩ – это то же самое, что сначала применить его к |q₁⟩ и |q₂⟩ по отдельности, а потом умножить возникшие новые волновые функции на числа a₁ и a₂ и все получившееся сложить (все происходит, как и при умножении числа на сумму, но только для более сложной операции, чем умножение)[253].

И вот главное: «сырьем» для производства таких предписаний оказываются привычные нам величины, такие как координаты и компоненты количества движения. Они получают новую жизнь в виде уже не обычных величин, принимающих те или иные числовые значения, а абстрактных явлений, распоряжающихся волновыми функциями. Превратим, например, координату x в такое предписание. В качестве обозначений часто используются буквы со шляпками: предписание, «прародителем» которого была координата x, можно обозначить как . Итог его «разговора» с любой волновой функцией |q⟩ записывают просто как |q⟩ – это не умножение, а результат воздействия, какая-то новая волновая функция, которую предписание производит из попавшейся ему под руку волновой функции (состояния). Как же конкретно оно, это , действует на встречаемые им волновые функции? Рецепт прост, но эффективен. Сначала перечислим все возможные значения координаты x₁, x₂, x₃, … (см. примечание 8 выше) и отвечающие им состояния |x₁⟩, |x₂⟩, |x₃⟩, …. Как мы хорошо помним, каждое такое состояние, например |x₂₂₂⟩, – это абстрактная конструкция; но при этом с каждым состоянием связано свое число (скажем, x₂₂₂ = 0,031 нм в мимолетном примере выше). Предписание говорит, что состояние |x₂₂₂⟩ следует просто умножить на число x₂₂₂ (да, 0,031 нм в данном случае). Таким же точно образом надо поступить и в остальных случаях: состояние |x₁⟩ следует умножить на отвечающее ему число x₁, состояние |x₂⟩ умножить на свое x₂ и т. д. Это так и записывается: |x₁⟩ = x₁ · |x₁⟩, и аналогично |x₂⟩ = x₂ · |x₂⟩ и т. д. Казалось бы, ничего интересного, почти казуистика: чтобы узнать, как действует икс-со-шляпкой, смотрим на значение координаты, которое прячется внутри состояния, и умножаем состояние на это значение; стоило ли ради этого изобретать этот икс-со-шляпкой? Стоило, потому что он в действительности может намного большее: он уже знает, как применить себя ко всем остальным состояниям! Дело в том, что любое состояние можно записать в виде «длинной суммы с произведениями» a₁ · |x₁⟩ + a₂ · |x₂⟩ + a₃ · |x₃⟩ +… с какими-то числами a₁, a₂, a₃ и т. д., а мы договорились, что каждое наше предписание снабжено рецептом раскрытия скобок: видя перед собой сумму волновых функций, оно набрасывается на каждое слагаемое по отдельности (а все получившееся следует потом сложить).