Энергия превращается в гамильтониан

Энергия превращается в гамильтониан

Но мы слегка забежали вперед. Все-таки мы еще не полностью построили гамильтониан. Сейчас исправим это упущение. Во-первых, с координатами y и z мы поступаем точно так же, как с координатой x, и превращаем их в предписания Во-вторых, надо еще надеть шляпу на количество движения – точнее, на каждую его компоненту[254]. А затем, задавшись какой-нибудь системой (например, десять электронов и ядро в атоме неона), мы выражаем энергию через координаты и количества движения, а потом в этом безобидном выражении заменяем все упоминания координаты x на предписания и аналогично поступаем с двумя другими координатами y и z. И сделать это надо для каждого участника событий, поэтому появятся свои предписания для каждого электрона. То же самое делается с количеством движения: для каждого электрона три компоненты количества движения превращаются в три предписания. После того как все обычные величины в выражении для энергии заменены на свои «продвинутые» версии со шляпками, перед нами оказывается предписание для изменения состояний/волновых функций. Оно чаще всего обозначается (по первой букве фамилии Hamilton), и это и есть гамильтониан – «новая жизнь» энергии в виде предписания по изменению волновых функций.

Никто, правда, не говорит «предписание по изменению волновой функции». Говорят «оператор» или (что правильнее, но длиннее) «линейный оператор». Слово «оператор» указывает на того, кто действует, управляет: в квантовой механике операторы действуют на волновые функции, изменяя их; вполне подходящее название. Технический термин «линейный» связан с линией довольно опосредованным образом и означает не «выстроенный в линию», а «всегда действующий по правилу раскрытия скобок и проходящий сквозь умножение на числа» (см. примечание 18 выше).

Пожалуй, стоит задуматься и признать, что перед нами – новый взгляд на природу вообще и движение в частности. Вместо привычных нам величин и их значений на первый план выходят отвечающие им операторы, предназначение которых – действовать на волновые функции (превращать одни в другие). Сами по себе операторы ни в какой мере не выражаются числовыми значениями. Но каждый оператор способен задавать волновой функции (состоянию) вопрос: не случилось ли так, что в данном состоянии определенная величина все-таки выражается числом? Состояний, для которых это случается, в определенном смысле «мало»; это собственные состояния данного оператора – те, которые под его воздействием претерпевают всего лишь умножение на число. У каждого предписания свой набор собственных состояний, которые так себя ведут, и набор собственных чисел, которые при этом появляются в качестве множителей. Эти числа (круг замкнулся!) и представляют собой все возможные значения данной величины – той, на которую мы и надели шляпу, чтобы получить данное предписание. Для гамильтониана это значения энергии, для оператора отвечающего количеству движения вдоль x, это возможные значения количества движения вдоль этого направления. То, что здесь происходит, называется квантованием: привычные величины превращаются в операторы и приобретают в этом качестве самостоятельное существование, а возможные численные значения каждой величины в конкретной системе возникают как продукт взаимоотношений этих операторов с некоторыми специально устроенными (собственными) волновыми функциями, уж какие найдутся. Это вершина нашего восхождения к абстракциям. Осталось только собрать их в уравнение Шрёдингера.